(Capítulo 23.4 – Exercício 11) A Fig. 23-31 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo de 2,00 m de aresta, com um vértice no ponto x1 = 5,00 m, y1 = 4,00 m. O cubo está imerso em um campo elétrico dado por E → = - 3,00 i ^ - 4,00 y 2 ĵ + 3,00 k ^ N / C , com y em metros. Qual é a carga total contida no cubo?

Passo 1

Oii gente, vamos lá que já estamos ficando craques na Lei de Gauss!

Aqui temos uma superfície gaussiana que é um cubo de lado l = 2,00   m . Esse cubo tem vértice no ponto x 1   =   5,00   m ,   y 1   =   4,00   m . Também sabemos o campo que passa por esse cubo: E → = - 3,00 i ^ - 4,00 y 2 ĵ + 3,00 k ^ N / C .

O que precisamos encontrar é a carga total dentro desse cubo, certo? Para fazer isso, utilizamos:

q = Φ ε 0

Onde ε 0 = 8,85 × 10 - 12 Mas primeiro vamos precisar calcular o fluxo elétrico Φ que passa por esse cubo. Podemos simplificar a conta se levarmos em conta que termos constantes do campo elétrico não contribuem para o fluxo elétrico. A única componente que não tem termos constantes é a componente y, que faria de acordo com - 4 y ² .

Então vamos lá calcular o fluxo elétrico para podermos encontrar a carga

Passo 2

Podemos calcular a componente y campo do elétrico para a face direta, Ed, e esquerda, Ee

E = - 4 y ²

Como a face esquerda está em y = 2 :

E e = - 4 2,00 2 = - 16 N / C

E como a face direita está em y = 4 :

E d = - 4 4,00 2 = - 64 N / C

Agora, podemos utilizar a seguinte relação:

Φ = E → ⋅ A →

Onde A = 2 2 = 4 é a área das faces

Calculando o fluxo:

Φ = - 64 . 4 - - 16 . 4 = - 192 N m 2 / C

O sinal negativo no segundo termo vem da direção da normal da área.

Passo 3

Finalmente, podemos utilizar a lei de Gauss para achar a carga:

Φ = q ε 0

q = Φ ε 0

q = - 192 8,85 × 10 - 12 = - 1,70 × 10 - 9 C = - 1,70 n C

Sucessooo

Resposta

q = - 1,70 n C

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