Duas placas condutoras infinitas, neutras, possuem espessura d e encontram-se a uma mesma distância l de um plano infinito, de espessura desprezível, carregado com uma densidade superficial de carga σ , como mostrado na figura abaixo. As três placas encontram-se em equilíbrio eletrostático. Nessa situação, as densidades superficiais de cargas nos pontos P e S indicados na figura, localizados sobre as superfícies das placas mais próximas do plano, valem, respectivamente:

Passo 1

Neste problema, temos um plano infinito carregado com densidade superficial de carga σ , que pode ser positiva ou negativa (a resposta não vai depender de conhecer esse sinal, como veremos!!).

Além disso, temos outras duas placas condutoras infinitas, inicialmente neutras, que são trazidas para perto da placa infinita carregada com σ .

Portanto, o campo elétrico produzido pelas cargas na placa com densidade σ induzirá cargas nas placas condutoras de espessura d , as quais ficarão localizadas em sua superfície, já que estamos falando de condutores.

A questão é: quanto de carga terá os pontos P e S da figura? Isso vai depender de como é o campo criado pela densidade de carga σ !

É exatamente isso que vamos analisar agora...

Passo 2

Para uma placa infinita com densidade de carga σ , o campo elétrico que ela produz é perpendicular à placa e tem o mesmo módulo E → = σ 2 ϵ 0 em toda a região, tanto à direita da placa, quanto à sua esquerda. Se a carga é positiva, as linhas de campo se afastam da placa, e se são negativas, sem aproximam dela, como mostra a figura abaixo.

Passo 3

Vamos analisar o caso em que a distribuição superficial de carga é positiva, ou seja, σ > 0 , como mostra a figura abaixo (a análise para o caso para σ < 0 é idêntica e a resposta não depende do sinal da carga σ !).

Nesse caso, a gente sabe que as linhas de campo se afastam da placa e que saem da carga positiva ( σ > 0 ) e chegam em uma carga negativa (cujo valor ainda não sabemos qual é!), correto?

Beleza!! Então esse campo elétrico produzido por σ > 0 induz, nas placas condutoras em vermelho, cargas negativas que ficarão localizadas em suas superfícies. Até aqui, tá tudo OK? Agora qual o valor dessas cargas na superfície?

Como a gente viu, o campo elétrico, tanto à direita de σ , quanto à sua esquerda, tem módulo igual à σ 2 ϵ 0 , como colocamos na figura acima. Ou seja, em toda a região esse entre as placas em vermelho, esse é o valor do módulo campo elétrico, INCLUSIVE EXATAMENTE SOBRE A SUPERFÍCIE DOS CONDUTORES EM VERMELHO!

Portanto, já temos duas informações importantes:

  1. A CARGA SOBRE A SUPERFÍCIE DOS CONDUTORES EM VERMELHO É NEGATIVA;
  2. O MÓDULO CAMPO ELÉTRICO SOBRE TODOS OS PONTOS DA SUPERFÍCIE DOS CONDUTORES EM VERMELHO É IGUAL A: σ 2 ϵ 0

Agora, qual o valor dessas cargas na superfície? Segue o raciocínio...chegaremos lá.

Passo 4

Agora, para fechar com chave de ouro, precisamos de mais uma informação sobre campos elétricos em condutores.

Sabemos que o campo elétrico no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático é zero e que qualquer carga em excesso que ele tenha vai se localizar sobre sua superfície.

Particularmente, o campo elétrico produzido pela carga que fica na superfície do condutor tem da seguinte forma geral:

E → c o n d u t o r = d e n s i d a d e   s u p e r f i c i a l   d e   c a r g a ϵ 0

Mas a gente já viu que, no caso do problema que estamos resolvendo aqui, esse campo elétrico | E → c o n d u t o r | sobre a superfície dos condutores em vermelho deve ser tal que temos a seguinte igualdade

                                                                                      E → c o n d u t o r = d e n s i d a d e   s u p e r f i c i a l   d e   c a r g a ϵ 0 = σ 2 ϵ 0

Pronto!! Fechou agora? Dessa igualdade a gente descobre o quê?

A DENSIDADE DE CARGA SOBRE O CONDUTOR EM VERMELHO É σ 2 !

Então, a gente sabe o seguinte: a carga induzida sobre todos os pontos da superfície dos condutores, inclusive nos pontos P e S , são negativas e tem densidade superficial dada por - σ 2 !!!

Passo 5

Se você repetir a mesma análise acima para o caso em que σ < 0 , você vai chegar à seguinte conclusão: a densidade superficial de carga induzida sobre os condutores é - σ 2 . Ou seja, independente do sinal da densidade de carga σ , a carga induzida sobre os condutores será dada – σ 2 !!!

Este problema é interessante porque discute propriedades importantes de condutores e te ajuda revisar como é o campo elétrico produzido por uma placa infinita com densidade superficial σ . Entendendo bem essa solução que discuti com você agora, você mata uma série de outros problema similares... ;-)

Resposta

Portanto, a resposta correta é a letra a). \0/

Exercícios de Livros Relacionados

A Fig. 23-30 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo de 2,00 m de aresta, imersa em um campo elétrico dado porE → = 3,00 x + 4,00 i ^ + 6,00 j ^ + 7,00 k ^ N / C , com x em metros. Qual
Uma fina casca esférica não-condutora de raio R 1 tem carga total q 1 uniformemente distribuída em sua superfície. Uma segunda fina casca esférica não condutora e maior, de raio R 2 , coaxial com a pr
Uma esfera de raio R tem densidade volumétrica de carga ρ = B / r para rR , onde B é uma constante e ρ = 0 para rR . (a) Determine a carga total na esfera. (b) Determine as expressões par ao campo elé
Um cilindro sólido não condutor infinitamente longo de raio a tem uma massa específica volumétrico uniforme de ρ 0 . Mostre que o campo elétrico é dado pelas seguintes expressões: E R = ρ R / 2 ε 0 pa
Uma fina casca cilíndrica de comprimento 200m e raio 6,00c m tem uma densidade superificial uniforme de carga de 9,00n C / m 2 . (a) Qual é a carga total na casca? Determine o campo elétrico nas segui