Seja um fio isolante fino (que pode ser considerado reto e infinito) carregado com uma densidade linear de carga uniforme λ F = + 1,0   ×   10 - 9   C / m . Este fio está colocado paralelamente e concentricamente com um cilindro condutor (também infinito), de raio interno R i = 10,0   c m e raio externo R e = 20,0   c m , como mostra a figura 1 abaixo. O cilindro condutor possui, inicialmente, uma densidade linear de carga uniforme λ C = + 0,5   ×   10 - 9   C / m .

  1. Calcule as densidades superficiais de carga σ i e σ e , respectivamente, nas superfícies interna e externa do cilindro, considerando que o equilíbrio eletrostático foi atingido.
  2. Calcule o campo elétrico nas regiões I   ( 0 < r < R i ) , I I   R i < r < R e e I I I   ( r > R e ) .

Agora suponha o cilindro anterior seja substituído por um cilindro isolante, com dimensões idênticas e com exatamente a mesma distribuição de cargas que nos itens a) e b). O mesmo fio usado anteriormente é, então, deslocado ao longo do eixo x , de modo que seu centro se encontra agora em ( 5,0   c m ,   0   c m ,   0   c m ) , como mostrado na figura 2 abaixo.

c) Calcule o campo elétrico no ponto P = ( 2 R e ,   0 ,   0 ) .

Passo 1

a) A carga total, por unidade de comprimento na superfície interna do cilindro é igual, em módulo e oposta em sinal, à carga por unidade de comprimento do fio, como podemos ver passando uma gaussiana cilíndrica concêntrica, de raio R ’, por dentro do condutor ( R i < R ' < R e ) , onde o campo é nulo. Portanto, temos

2 π R i L σ i = L λ i   ⇒ σ i = λ i 2 π R i   .

Como λ i = - λ F = - 1,00   ×   10 - 9   C / m , temos

σ i =   - 1,59   × 10 - 9 C m 2   ,

que está uniformemente distribuída na superfície interna do cilindro. Como a soma total da carga por unidade de comprimento do condutor tem de se manter igual ao valor inicial, a carga por unidade de comprimento na superfície externa do cilindro condutor deve ser igual a:

λ e = λ c - λ i = 0,5 - - 1,0 ×   10 - 9 C m   .

Portanto, a densidade uniforme de carga sobre a superfície externa do condutor será:

σ e = λ e 2 π R e = 1,19   ×   10 - 9 C m 2     .

Passo 2

b) Para calcular o campo elétrico, podemos usar superfícies gaussianas cilíndricas, dado que a simetria do campo é cilíndrica, pois o campo aponta do eixo central para fora, radialmente. Assim, temos que, para um raio r , o fluxo total é

2 π r L E = Q T ϵ 0 = λ L ϵ 0 ⇒ E = λ 2 π ϵ 0 r   .

Portanto,

- Na região I , λ = + 1,00   ×   10 - 9   C / m , então E I r = 1,00   ×   10 - 9 2 π ϵ 0 r = 18 r     ;

- Na região I I , E I I r = 0 , pois está dentro do condutor ;

- Na região I I I , λ = + 1,00 - 1,00 + 1,50 ×   10 - 9   C / m , então E I I I r = + 1,50   ×   10 - 9 2 π ϵ 0 r = 27 r   .

Passo 3

c) O campo no ponto 2 R e = 0,40   m   ; 0   ; 0   ( r = 0,40   m ) , equivale a subtrair o campo do fio localizado em r = 0 por um campo do mesmo fio localizado em r = 0,050   m : se notar que é só subtrair o antigo e adicionar o novo:

E = 27 0,4 - 18 0,4 + 18 0,35 = 67,5 - 45,0 + 51,4 = 74 N C   .

Portanto,

E → = 74   N / C   ; 0   ; 0     .

Resposta

  1. σ i =   - 1,59   × 10 - 9 C m 2   ;   σ e = λ e 2 π R e = 1,19   ×   10 - 9 C m 2   ;
  • Na região I , λ = + 1,00   ×   10 - 9   C / m , então E I r = 1,00   ×   10 - 9 2 π ϵ 0 r = 18 r     ;
  • Na região I I , E I I r = 0 , pois está dentro do condutor ;
  • Na região I I I , λ = + 1,00 - 1,00 + 1,50 ×   10 - 9   C / m , então E I I I r = + 1,50   ×   10 - 9 2 π ϵ 0 r = 27 r   .

c) E → = 74   N / C   ; 0   ; 0     .

Exercícios de Livros Relacionados

A Fig. 23-30 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo de 2,00 m de aresta, imersa em um campo elétrico dado porE → = 3,00 x + 4,00 i ^ + 6,00 j ^ + 7,00 k ^ N / C , com x em metros. Qual
Uma fina casca esférica não-condutora de raio R 1 tem carga total q 1 uniformemente distribuída em sua superfície. Uma segunda fina casca esférica não condutora e maior, de raio R 2 , coaxial com a pr
Uma esfera de raio R tem densidade volumétrica de carga ρ = B / r para rR , onde B é uma constante e ρ = 0 para rR . (a) Determine a carga total na esfera. (b) Determine as expressões par ao campo elé
Um cilindro sólido não condutor infinitamente longo de raio a tem uma massa específica volumétrico uniforme de ρ 0 . Mostre que o campo elétrico é dado pelas seguintes expressões: E R = ρ R / 2 ε 0 pa
Uma fina casca cilíndrica de comprimento 200m e raio 6,00c m tem uma densidade superificial uniforme de carga de 9,00n C / m 2 . (a) Qual é a carga total na casca? Determine o campo elétrico nas segui