Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

UFF-LISTA2-8

Um cilindro carregado muito longo, de raio R , possui uma densidade linear de carga λ . Determine o campo elétrico criado pelo cilindro:

a ) Fora do mesmo, para r ≥ R .

b ) Dentro do cilindro, para r ≤ R .

c ) Mostre também que suas respostas coincidem na borda do cilindro, correspondente a r = R .

Passo 1

Para matar essa questão, vamos começar lembrando da linda Lady Gauss!

∮ E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Para questões com cilindros carregados ou fios condutores, sempre utilizaremos uma gaussiana cilíndrica. Pois assim, o campo será sempre radial, e aponta na mesma direção que d A → . Além do fato de que nas tampas o vetor campo é perpendicular ao vetor área e o produto escalar dá zero! Levando isso em conta, temos:

∮ E → ∙ d A → = E . A

Onde A é a área da superfície lateral da gaussiana cilíndrica, ou seja:

A = 2 . π . r . L

Onde r é o raio da gaussiana e L sua altura. Voltando à Lei de Gauss, temos:

E . 2 . π . r . L = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 2 . π . r . L . ϵ 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a )

Para r ≥ R , temos:

Precisamos agora determinar Q i n t em função de λ , pois é isso que conhecemos! Como estamos na região fora do cilindro carregado, temos:

Q i n t = λ . L

Substituindo na Lei de Gauss, temos:

E a = λ . L 2 . π . r . L . ϵ 0

E a → = λ 2 . π . r . ϵ 0     r ^

Como a direção do vetor campo elétrico é radial, indicamos por esse vetor unitário r ^ !

Passo 3

b )

Para r ≤ R , temos:

Considerando que a carga esta distribuída uniformemente pela área do cilindro, temos agora que a carga interna Q i n t varia para r ≤ R , que pode ser encontrada da seguinte forma:

Q i n t A g a u s s = λ . L A 0 → Q i n t π r 2 = λ . L π R 2

Q i n t = π . r 2 π . R 2 . ( λ . L )

Substituindo na Lei de Gauss, temos:

E b = 1 2 . π . r . L . ϵ 0 . π . r 2 π . R 2 . ( λ . L )

E b → = λ . r 2 . π . R 2 . ϵ 0   r ^

Novamente na direção radial!

Passo 4

c )

Vamos agora testar na borda do cilindro, as duas equações achadas para o campo elétrico devem dar a mesma resposta em r = R , veremos:

Para E → a , temos:

E → a R = λ 2 . π . R . ϵ 0     r ^

Para   E → b , temos:

E → b R = λ . R 2 . π . R 2 . ϵ 0 r ^ = λ 2 . π . R . ϵ 0   r ^

Portanto:

E → a R = E → b ( R )

Resposta

a )   E a → = λ 2 . π . r . ϵ 0     r ^

b )   E b → = λ . r 2 . π . R 2 . ϵ 0   r ^

c )   E → a R = λ 2 . π . R . ϵ 0   r ^ = E → b R

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