Um cilindro maciço muito longo, não condutor, de raio R e comprimento L , contém uma densidade volumétrica de carga ρ , uniforme.

Considere r a distância ao eixo do cilindro. Desprezando efeitos de borda, determine:

a a carga total do cilindro em função de ρ , R e L ;

b o módulo do campo elétrico E r para r > R ;

c o módulo do campo elétrico E r para r < R .

d Esboce o gráfico do módulo do campo elétrico E r em função de r . Indique no gráfico o raio R do cilindro.

Passo 1

a a carga total do cilindro em função de ρ , R e L ;

Por definição, a carga do cilindro e a densidade volumétrica de carga estão associadas por:

Q = ∫ ρ d V

Como ρ = c o n s t . , teremos:

Q = ρ ∫ d V = ρ V o l

Q = ρ π R 2 L

Passo 2

b o módulo do campo elétrico E r para r > R ;

Aplicando a Lei de Gauss à simetria cilíndrica, teremos:

∮ E → ∙ d A → = q i n t ϵ 0

E r × 2 π r L = q i n t ϵ 0

Onde r é o raio da seção transversal da nossa gaussiana cilíndrica.

E r = q i n t 2 π ϵ 0 r L

Assim, basta, para cada caso, calcular o valor da carga interna à gaussiana.

Passo 3

Para r > R , a gaussiana cilíndrica engloba todo o cilindro, logo:

q i n t = Q

q i n t = ρ π R 2 L

Aplicando isso à expressão que encontramos no Passo 2, teremos:

E r = ρ π R 2 L 2 π ϵ 0 r L

E r = ρ R 2 2 ϵ 0 r

Passo 4

c o módulo do campo elétrico E r para r < R .

Nesse caso, a gaussiana engloba apenas parte do cilindro, logo:

q i n t = ∫ ρ d V = ρ V o l

q i n t = ρ π r 2 L

Logo, o campo elétrico será dado por:

E r = ρ π r 2 L 2 π ϵ 0 r L

E r = ρ r 2 ϵ 0

Passo 5

d Esboce o gráfico do módulo do campo elétrico E r em função de r . Indique no gráfico o raio R do cilindro.

Juntando os resultados das letras b e c , teremos:

E r = ρ r 2 ϵ 0 ,     r < R ρ R 2 2 ϵ 0 r ,     r > R

É importante notar que, quando r = R , ambos valem:

E R = ρ R 2 ϵ 0

Logo, a função não possui descontinuidades.

Por fim, o gráfico vai ter essa cara:

Resposta

a

Q = ρ π R 2 L

b

E r = ρ R 2 2 ϵ 0 r

c

E r = ρ r 2 ϵ 0

d

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