Um plano dielétrico P 1 possui densidade superficial de carga constante (estacionária e uniforme) σ > 0 . Coloca-se, então, a uma distância 2 d desse plano, uma placa condutora neutra P 2 , de espessura d e transversalmente infinita, conforme mostra a figura abaixo.

Determine (com justificativas!):

a o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E → 1 produzido apenas pelo plano P 1 , para x > 0 .

b o campo no interior da placa condutora.

c as densidades de carga induzidas σ 1 e σ 2 na placa condutora.

d o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E → 0 na região 0 < x < 2 d .

Passo 1

a o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E → 1 produzido apenas pelo plano P 1 , para x > 0 .

Vamos lá!

Por conta da simetria do problema, por se tratar de um plano infinito, o campo elétrico sempre terá direção perpendicular ao plano e o campo elétrico será constante, independente da coordenada x , y , z .

Além disso, por conta da simetria do plano, podemos dizer que:

E → 1 - x = - E → 1 x

Até aí, beleza, mas como vamos calcular o campo elétrico?

Eu sei que você pensou o mesmo que eu... lei de Gauss.

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Como gaussiana, vamos pensar em um cilindro de área transversal A , cujo eixo de simetria é perpendicular ao plano infinito P 1 .

De acordo com a lei de Gauss, o fluxo elétrico através da gaussiana é dado por:

ϕ E = ∯ G   E → ∙ d A →

Passo 2

O fluxo através da gaussiana só pode ocorrer através da face lateral do cilindro ou através das tampas, concorda?

Logo:

ϕ E = ∬ t a m p a s E → 1 ∙ d A → + ∬ l a t e r a l E → 1 ∙ d A →

Mas se tanto E → 1 quanto o eixo de simetria da gaussiana são perpendiculares ao plano P 1 , logo:

E → 1 ⊥ d A → l a t e r a l

E → 1 ∙ d A → l a t e r a l = 0

Assim, o fluxo elétrico se dará apenas nas tampas.

ϕ E = ∬ t a m p a s E → 1 ∙ d A →

Como já dissemos, o campo elétrico é constante, e como a gaussiana possui duas tampas de área A , podemos dizer que:

ϕ E = 2 E 1 A

Passo 3

Ok, agora vamos para o outro lado da lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através da gaussiana é dado por:

ϕ E = Q i n t ϵ 0

A carga interna está relacionada à densidade de carga σ por:

σ = Q i n t A → Q i n t = σ A

Substituindo na expressão de ϕ E , teremos:

ϕ E = σ A ϵ 0

Igualando as duas expressões do fluxo elétrico, teremos:

2 E 1 A = σ A ϵ 0

Finalmente:

E 1 = σ 2 ϵ 0

Portanto, para x > 0 , como a densidade de carga é positiva:

E → 1 = σ 2 ϵ 0 x ^

Passo 4

b o campo no interior da placa condutora.

Aqui vai uma coisa pra coisa pra você guardar no coração: o campo elétrico no interior de um condutor é sempre nulo.

E → = 0

Passo 5

c as densidades de carga induzidas σ 1 e σ 2 na placa condutora.

Como a placa condutora é eletricamente neutra, é necessário que a soma das cargas das superfícies 1 e 2 seja nula. Logo:

Q 1 + Q 2 = 0 → σ 1 + σ 2 = 0

σ 1 = - σ 2

Isso acontece porque a área da placa é igual dos dois lados!

Além disso, no interior da placa condutora, temos as ações dos campos elétricos gerados pelas densidades de carga σ , σ 1 e σ 2 .

Entretanto, no item anterior, já vimos que, no interior do condutor, o campo elétrico é nulo.

Sendo assim:

E → = E → σ + E → σ 1 + E → σ 2 = 0

No interior do condutor esses campos elétricos serão dados por:

E → σ = σ 2 ϵ 0 x ^

E → σ 1 = σ 1 2 ϵ 0 x ^

E → σ 2 = - σ 2 2 ϵ 0 x ^

O campo elétrico E → σ 2 é negativo pois o espaço interior do condutor está à esquerda do plano.

Logo:

σ 2 ϵ 0 + σ 1 2 ϵ 0 - σ 2 2 ϵ 0 x ^ = 0

σ 2 ϵ 0 + σ 1 2 ϵ 0 - σ 2 2 ϵ 0 = 0

σ + σ 1 - σ 2 = 0

Sabendo que σ 1 = - σ 2 , teremos:

σ + σ 1 + σ 1 = 0

2 σ 1 = - σ

σ 1 = - σ 2

Logo:

σ 2 = σ 2

Passo 6

d o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico E → 0 na região 0 < x < 2 d .

Novamente, a região terá a influência dos campos elétricos gerados pelas 3 densidades de carga. A diferença agora é que, como o espaço está à esquerda dos planos σ 1 e σ 2 , os campos elétricos na região serão dados por:

E → σ = σ 2 ϵ 0 x ^

E → σ 1 = - σ 1 2 ϵ 0 x ^

E → σ 2 = - σ 2 2 ϵ 0 x ^

Sendo assim:

E → = E → σ + E → σ 1 + E → σ 2

E → = σ 2 ϵ 0 - σ 1 2 ϵ 0 - σ 2 2 ϵ 0 x ^

Sabendo que:

σ 1 = - σ 2

σ 2 = σ 2

Teremos:

E → = σ 2 ϵ 0 + σ 4 ϵ 0 - σ 4 ϵ 0 x ^

E → = σ 2 ϵ 0 + σ 4 ϵ 0 - σ 4 ϵ 0 x ^

E → = σ 2 ϵ 0 x ^

Resposta

a

E → 1 = σ 2 ϵ 0 x ^

b

E → = 0

c

σ 1 = - σ 2

σ 2 = σ 2

d

E → = σ 2 ϵ 0 x ^

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