Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Uma esfera sólida isolante de raio R possui uma densidade de carga uniforme ρ em todo seu volume.

O módulo do campo elétrico a uma distância r = R / 4 do centro desta esfera vale:

a ρ R / 4 ϵ 0

b ρ R / 3 ϵ 0

c ρ R / 16 ϵ 0

d ρ R / 12 ϵ 0

e ρ R / 48 ϵ 0

Passo 1

Para esse tipo de problemas, partimos logo para a Lei de Gauss, dada por:

Φ E = ∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Ao escolhermos uma superfície gaussiana esférica com raio r , garantimos que, em todos os pontos da gaussiana, o módulo do campo elétrico é constante e que os vetores E → e d A → são paralelos.

Dessa forma, podemos escrever a Lei de Gauss da seguinte forma:

E . 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

O nosso próximo trabalho é calcular a carga Q i n t .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como a carga está uniformemente distribuída no volume, podemos usar o conceito de densidade volumétrica de carga ρ , dada por:

ρ = Q i n t V → Q i n t = ρ V

Onde V = 4 π r 3 / 3 corresponde ao volume da superfície gaussiana, dessa forma:

Q i n t = ρ . 4 π r 3 3

Substituindo na expressão do campo elétrico, teremos:

E = 1 4 π ϵ 0 r 2   ρ . 4 π r 3 3

Organizando essa bagaça, encontramos o seguinte:

E = ρ r 3 ϵ 0

Onde r = R / 4 , logo:

E = ρ 3 ϵ 0 R 4

E = ρ R 12 ϵ 0

Resposta

d ρ R / 12 ϵ 0

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