Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Um cilindro circular infinito, isolante, de raio R possui uma distribuição volumétrica de carga uniforme.

Que tipo de dependência com a distância s ao eixo do cilindro podemos esperar para a intensidade do campo elétrico, E s , nas regiões do espaço definidas por s < R e s > R , respectivamente?

a E s < R ~ s ;     E s > R ~ 1 s ;

b E s < R = 0 ;     E s > R ~ 1 s 2 ;

c E s < R = 0 ;     E s > R ~ 1 s ;

d E s < R ~ s ;     E s > R ~ 1 s 2 ;

e E s < R ~ s 2 ;     E s > R ~ 1 s 2 ;

f E s < R ~ s 2 ;     E s > R ~ 1 s ;

Passo 1

Em corpos com simetria cilíndrica, a boa é utilizar a Lei de Gauss pra simplificar a nossa vida.

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Dada a simetria do problema, vamos escolher uma gaussiana cilíndrica com um raio genérico s . Dessa forma, podemos escrever a Lei de Gauss da seguinte forma:

E . 2 π s L = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 2 π ϵ 0 s L

Onde 2 π s L corresponde à área da superfície lateral da gaussiana.

Agora basta determinar, para cada caso, o valor da carga Q i n t englobada pela gaussiana.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

  • s < R :
  • Nesse caso, a gaussiana está englobando apenas parte do cilindro de raio R , então a boa aqui é utilizar o conceito de densidade volumétrica de carga uniforme, dada por:

    ρ = Q i n t V = Q i n t π s 2 L

    Q i n t = ρ π s 2 L

    Onde π s 2 L corresponde ao volume da porção do cilindro, de raio s , englobada pela gaussiana.

    Substituindo na expressão do campo elétrico, teremos:

    E = Q i n t 2 π ϵ 0 s L = ρ π s 2 L 2 π ϵ 0 s L

    E = ρ s 2 ϵ 0

    Logo, como o campo elétrico é proporcional a s :

    E s < R ~ s

    Observação: O ~ aqui está sendo usado como símbolo de proporcionalidade.

    Passo 3

  • s > R :

Agora, a gaussiana está englobando todo o cilindro de raio R , então vamos usar novamente o conceito de densidade volumétrica de carga uniforme:

ρ = Q i n t V = Q i n t π R 2 L

Q i n t = ρ π R 2 L

Onde π R 2 L corresponde ao volume de todo o cilindro, de raio R .

Substituindo na expressão do campo elétrico, teremos:

E = Q i n t 2 π ϵ 0 s L = ρ π R 2 L 2 π ϵ 0 s L

E = ρ R 2 2 ϵ 0 s

Agora o campo elétrico é proporcional a 1 / s :

E s < R ~ 1 s

Finalmente, a resposta correta é a letra a .

Resposta

a E s < R ~ s ;     E s > R ~ 1 s ;

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