Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Um fio infinito, isolante, com densidade linear de carga uniforme - λ   <   0 , é colocado sobre uma placa infinita, isolante, com densidade superficial de carga uniforme σ   >   0 .

Utiliza-se um sistema de coordenadas cartesianas tal que o fio está ao longo do eixo z e a

placa se extende no plano y z , conforme a figura.

( a ) Calcule o vetor campo elétrico produzido pela placa em todo o espaço.

( b ) Calcule o vetor campo elétrico produzido pelo fio em todo o espaço.

( c ) Determine os pontos P   ≡   ( x , y , z ) do espaço onde a força que atua sobre uma partícula de carga Q é nula.

Passo 1

a Para calcular o vetor campo elétrico produzido pela placa vamos utilizar a lei de Gauss e para isso vamos escolher um cilindro como superfície fechada (superfície gaussiana) para aplicarmos a lei de Gauss.

Porque com essa superfície vamos simplificar os cálculos.

Pois o fluxo de campo elétrico pela lateral é zero. Assim, temos fluxo apenas nas tampas.

∯ T a m p a   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Como o campo é constante e temos duas tampas,

2 . E → ∯ G   d A → = Q i n t ϵ 0

Como a integral é

∯ G   d A → = Á r e a

Temos,

2 . E → . A = Q i n t ϵ 0

Isolando o campo elétrico,

E → = Q i n t ϵ 0 . 2 . A

Temos que a carga da placa é dada por

Q i n t = σ . A

Então,

E → = σ 2 ϵ 0 σ 2 ϵ 0 . i ^   p a r a   x > 0 σ 2 ϵ 0 . - i ^   p a r a   x < 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b   Faremos o mesmo para o calculo do campo elétrico gerado por um fio, porém nesse caso o fluxo de campo elétrico será zero nas tampas da superfície cilíndrica.

∯ L a t e r a l   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Como

∯ G   d A → = Á r e a = 2 π r . L

Assim, temos

E → = Q i n t ϵ 0 . 2 . π . r . L

Sendo que

Q i n t = - λ . L

Logo

E → = - λ 2 . π . ϵ 0 . r . r ^

Passo 3

c A força só será nula quando o campo elétrico for nula nela. Assim, iremos procurar os pontos onde o campo elétrico do fio anula os da placa, para isso naquele ponto eles devem ser iguais.

Para que os campos se anulem, eles devem estar na mesma direção, e isso acontecerá apenas no plano x z , logo y = 0 . E como nenhum dos campos dependem da coordenada Z , então o valor de Z pode ser qualquer um.

Então vamos analisar para x > 0   e para x < 0 , pois o campo elétrico da placa depende do sinal de x . Começando para x > 0 :

σ 2 ϵ 0 . i ^ - λ 2 . π . ϵ 0 . x . i ^ = 0

x = - λ π . σ

Agora, faremos o mesmo para x < 0 :

- σ 2 ϵ 0 . i ^ - λ 2 . π . ϵ 0 . x . i ^ = 0

x = + λ π . σ

Então os pontos são

P x , y , z = ± λ π . σ ; 0 ; Z

Resposta

a   E → = σ 2 ϵ 0 σ 2 ϵ 0 . i ^   p a r a   x > 0 σ 2 ϵ 0 . - i ^   p a r a   x < 0

b   E → = - λ 2 . π . ϵ 0 . r . r ^

c   P x , y , z = ± λ π . σ ; 0 ; Z

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