Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Física 3 – UFPE – 2019.1 – PF – Questão 1

Considere um cilindro muito comprido, com raio a . O cilindro possui uma densidade volumétrica de carga ρ r = ρ 0 / r , onde ρ 0 é uma constante positiva e r é a distância medida a partir do eixo do cilindro. Uma fração do cilindro, de comprimento L muito maior que a e muito menor que o comprimento total do cilindro, é pintado com uma tinta não condutora que possui uma carga total - Q e espessura desprezível.

a) Calcule a carga total (incluindo a carga da tinta) contida num cilindro de comprimento L muito maior que a e muito menor que o comprimento total do cilindro.

b) Determine o campo elétrico do cilindro de comprimento L muito maior que a e muito menor que o comprimento total do cilindro, nas regiões: i) r < a ; e ii) r > a .

c) Calcule a força experimentada por uma carga pontual negativa - q 0 , localizada no exterior do cilindro de comprimento L muito maior que a e muito menor que o comprimento total do cilindro, i.e., a uma distância R > a .

Passo 1

Fala galerinha, bora resolver esse problema sobre campo elétrico de um cilindro carregado.

O cilindro tem uma densidade de carga que varia como

ρ r = ρ 0 r

No item (a) queremos a carga total para um comprimento L . Para isso, temos que integrar a densidade de carga no volume:

q c i l i n d r o = ∫ ρ   d V

Como vamos fazer a integral em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume pode ser escrito como

d V = L ⋅ 2 π r   d r

Com isso, só precisamos fazer a integral em r :

q c i l i n d r o = 2 π L ∫ 0 a ρ   r   d r

Note que estamos integrando de r = 0 até r = a , varrendo todo o cilindro. Pode ser útil saber a carga até uma distância r < a . Para isso, vamos calcular

q c i l i n d r o r = 2 π L ∫ 0 r ρ   r   d r = 2 π L ∫ 0 r ρ 0 r   r   d r = 2 π L ρ 0 ∫ 0 r d r

Logo,

q c i l i n d r o r = 2 π L ρ 0 r

Para achar a carga total no cilindro, fazemos r = a :

q c i l i n d r o = 2 π L ρ 0 a

Porém o problema pede a carga total, considerando a carga no cilindro e a carga - Q na camada de tinta, de modo que

q = q c i l i n d r o + - Q

Ou ainda,

q = 2 π L ρ 0 a - Q

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No item (b) queremos o campo elétrico dentro e fora do cilindro, como função da distância r até o eixo do cilindro. Para resolver esse problema, vamos usar a lei de Gauss:

∮ E → ⋅ d A → = Q i n t ϵ 0

Para isso, consideramos uma superfície cilíndrica fechada de raio r e altura L . O fluxo do campo elétrico por essa superfície é dado por

∮ E → ⋅ d A → = E ⋅ A l a t e r a l

A área lateral do cilindro é A l a t e r a l = 2 π r L :

∮ E → ⋅ d A → = E ⋅ 2 π r L = Q i n t ϵ 0

Logo,

E = 1 2 π ϵ 0 r L ⋅ Q i n t

Daí, basta saber em cada caso qual é a carga Q i n t dentro da superfície cilíndrica considerada.

Passo 3

Para r < a , a carga será a carga acumulado no cilindro até um raio r . Note que já fizemos essa conta no passo 1:

r < a → Q i n t = q c i l i n d r o r = 2 π L ρ 0 r

Assim,

E = 1 2 π ϵ 0 r L ⋅ 2 π L ρ 0 r → E = ρ 0 ϵ 0

Já para r > a , a carga é toda a carga no cilindro e na tinta:

Q i n t = 2 π L ρ 0 a - Q

Logo,

E = 1 2 π ϵ 0 r L ⋅ 2 π L ρ 0 a - Q = ρ 0 a ϵ 0 r - Q 2 π ϵ 0 r L

Com isso, podemos escrever

E r = ρ 0 ϵ 0 ,               r < a ρ 0 a ϵ 0 r - Q 2 π ϵ 0 r L ,           r > a

Nos dois casos o campo é radial. Para r > a , ele aponta para fora. Já para r > a , tudo depende do fator 2 π L ρ 0 a - Q . Se 2 π L ρ 0 a > Q , o campo aponta para fora. Caso contrário, ele aponta para dentro.

Passo 4

Por fim, no item (c), queremos achar a força que uma carga pontual - q 0 sente quando está a uma distância R > a do eixo do cilindro. Bom, se ela está fora do cilindro, o campo sobre ela é

E = ρ 0 a ϵ 0 R - Q 2 π ϵ 0 R L

Daí, basta lembrar que a força sobre uma carga q é F = q E . Como q = - q 0 , temos que

F = - q 0 ρ 0 a ϵ 0 r - Q 2 π ϵ 0 r L

Essa força aponta no sentido contrário do campo, pois a carga de prova - q 0 é negativa.

E assim nós fechamos o problema 😉!

Resposta

q = 2 π L ρ 0 a - Q

E r = ρ 0 ϵ 0 ,               r < a ρ 0 a ϵ 0 r - Q 2 π ϵ 0 r L ,           r > a

F = - q 0 ρ 0 a ϵ 0 r - Q 2 π ϵ 0 r L

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas