Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Uma placa condutora neutra, em equilíbrio eletroestático, quadrada, de lado L e espessura d , tal que L ≫ d , é colocada a uma distância 2 . d de um plano de cargas também quadrado de lado L , com densidade superficial de cargas dada por σ ( σ > 0 ) , como mostrado na figura abaixo.

Quais são o módulo E ( P ) do campo elétrico no ponto P localizado entre a placa e o plano, e a densidade superficial de cargas σ ( Q ) , no ponto Q , sobre a superfície da placa que fica mais próxima do plano?

(a) σ 2 ϵ 0 ,   - σ 2

(b) σ ϵ 0 ,   - σ 2

(c) σ 2 ϵ 0 ,   - σ

(d) σ ϵ 0 ,   σ

(e) - σ 2 ϵ 0 ,   - σ

Passo 1

Primeiro vamos lembrar como se calcula o campo elétrico produzido pela placa de cima.

Primeiro temos que construir uma gaussiana que contenha o plano, com área da base A . O campo elétrico, por simetria, tem que ser perpendicular a essa área e o fluxo do campo elétrico através gaussiana.

Φ E = ∫ E → ⋅ d A → = 2 E A

O fator de 2 aparece por que temos duas tampas de área A onde há fluxo de campo elétrico.

Pela lei de Gauss esse fluxo de campo elétrico é dado por

Φ E = q i n ϵ 0

Onde q i n é a carga total dentro da nossa superfície gaussiana. Para calcular essa carga basta multiplica a área da base dessa superfície pela densidade de carga da placa, σ .

q i n = A σ

Assim, temos

2 E A = A σ ϵ 0

E = σ 2 ϵ 0

E esse campo elétrico aponta para fora do plano.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos lá. Se eu pego esse plano carregado e trago perto de uma superfície condutora, o que você espera? Uma indução de cargas na superfície, certo?

Se a placa tem uma densidade de carga σ , é natural pensar que as cargas induzidas na parte superior do condutor tenham carga de sinal contrário.

Então, digamos, uma densidade de cargas - σ ' seja induzida na superfície superior do nosso condutor. Como esse condutor é neutro, então teríamos que ter uma densidade de carga σ ' na superfície inferior, correto?

A distribuição de cargas ficaria algo mais ou menos assim

Beleza? Agora já fizemos o mais difícil da questão! Agora vamo lá!

Passo 3

Cada uma das superfícies do condutor atuará como uma placa carregada. Já vimos como é o campo de uma placa carregada, né? A intensidade do campo elétrico produzido por cada uma dessas superfícies com densidade de carga σ ' será

E ' = σ ' 2 ϵ 0

Show! Agora vamos apontar o campo produzido por cada uma das superfícies

Tá, ok. A gente apontou um montão de campo.... e agora o que você faz com isso?

Agora tem que lembrar de um detalhe super mega importante pra caramba!

O campo elétrico dentro de um condutor é nulo!

Isso significa que a soma dos 3 campos que vimos dentro do condutor é nula. Pela figura, vemos que

E = 2 E '

σ 2 ϵ 0 = 2 σ ' 2 ϵ 0

σ = 2 σ '

σ ' = σ 2

E estamos prontos pra responder umas das perguntas!

A densidade de cargas no ponto Q é dada por

- σ ' = - σ 2

Show!

Passo 4

Agora só basta calcular o campo no ponto P . Tomando como positiva a direção para cima, pela figura vemos que o campo no ponto P é dado por

- E - E ' + E ' = - E

Ou seja, o módulo do campo resultante no ponto P , será

σ 2 ϵ 0

Resposta

Letra (A)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas