Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

UFF - Física 2 – P1 2018.1 - 3

Uma esfera maciça isolante de raio R está positivamente carregada. A densidade de carga volumétrica uniforme é dada por ρ . O campo elétrico dentro da esfera vale:

  1. E d e n t r o = ρ r / ( 3 ε 0 ) , apontando radialmente para fora com relação ao centro da esfera.
  2. E d e n t r o = ρ r / ( 3 ε 0 ) , apontando radialmente para dentro com relação ao centro da esfera.
  3. E d e n t r o = 3 ρ r / ( ε 0 ) , apontando radialmente para fora com relação ao centro da esfera.
  4. E d e n t r o = 3 ρ r / ( ε 0 ) , apontando radialmente para dentro com relação ao centro da esfera.
  5. E d e n t r o = ρ r / ( 2 ε 0 ) , apontando radialmente para fora com relação ao centro da esfera

Passo 1

Precisamos calcular aqui o campo elétrico na região r < R . Para isso, vamos usar a gaussiana esférica mostrada na figura abaixo.

O primeiro passo aqui é notar que o campo elétrico  E → tem simetria esférica, ou seja, a gente pode girar a esfera em torno de qualquer reta que passa pelo centro da esfera que teremos como resultado a mesma distribuição de cargas. Isso nos garante que o campo elétrico tem as seguintes características:

  1. O campo elétrico só tem componente radial:   E → = E r r ^ ;
  2. E → tem o mesmo valor nos pontos sobre a gaussiana;
  3. E → é paralelo a   d A → em todos os pontos da superfície gaussiana, como está na figura acima;

Com isso, podemos escrever o fluxo elétrico Φ E como:

Φ E = ∫ S E → ⋅ d A → = ∫ S E r d A = E r ∫ S d A = E r 4 π r 2   ,

em que a integral dá a área da superfície da gaussiana esférica.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já vimos o lado direito da lei de Gauss, vamos ver como fica a carga dentro da superfície gaussiana. O problema fala que a distribuição de cargas é uniforme. Isso significa que a densidade de cargas ρ é a mesma em todos os pontos do interior da esfera carregada. Portanto, a densidade de cargas também é ρ dentro da esfera gaussiana de raio r .

Com isso, temos o seguinte:

ρ = Q i n t 4 π r 3 3 ⇒ Q i n t = 4 3 π ρ r 3   .

Colocando essa expressão junto com aquela do Passo 1, temos:

Φ E = E r 4 π r 2 = 4 3 π ρ r 3 ε 0   .

Simplificando essa expressão, obtemos que o vetor campo elétrico   E → dentro da esfera é

E → = E r   r ^ = ρ r 3 ε 0   r ^   .

Como a carga da esfera é positiva, ou seja, ρ > 0 , o campo elétrico é radial e aponta para fora se afastando do centro da esfera.

Resposta

Letra a.

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