Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Lei de Gauss, Densidade de Carga

Um cilindro circular, muito longo, possui uma densidade volumar de carga elétrica estacionária, mas não uniforme ρ ( r ) = A / r , onde A = c o n s t e r é a usual coordenada radial, medida a partir do eixo de simetria do cilindro.

Envolvendo tal cilindro, temos uma casca cilíndrica circular espessa, coaxial, também muito longa, de raios interno b e externo c , condutora e neutra.

a Determine a carga por unidade de comprimento axial, no cilindro interno.

b Determine o campo elétrico em um ponto genérico dentro do cilindro interno, com coordenada radial 0 ≤ r ≤   a .

c Determine o campo elétrico em um ponto genérico na região entre os dois cilindros, com coordenada radial a ≤ r < b .

d Determine o campo elétrico em um ponto genérico dentro da casca condutora, com coordenada radial b < r < c .

e Determine o campo elétrico em um ponto genérico na região exterior aos dois cilindros, com coordenada radial c < r < ∞ .

Passo 1

a Determine a carga por unidade de comprimento axial, no cilindro interno.

A carga está associada com a densidade volumétrica de carga por:

ρ = d q d V → d q = ρ d V

Como a densidade volumétrica de carga varia com o raio, o elemento d V será dado por:

V = π r 2 L → d V = 2 π r L   d r

0 < r < a

Substituindo d V e ρ na expressão de d q , teremos:

d q = A r 2 π r L   d r

Q = ∫ 0 a 2 π r L A r d r = ∫ 0 a 2 π L A   d r

Q = 2 π L A ∫ 0 a d r

Q = 2 π L A a

Assim, a carga por unidade de comprimento axial será:

Q L = 2 π A a

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Determine o campo elétrico em um ponto genérico dentro do cilindro interno, com coordenada radial 0 ≤ r ≤   a .

O campo elétrico é determinado através da lei de Gauss, dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Nesse caso, a nossa gaussiana será um cilindro com o mesmo comprimento L do cilindro da questão. Logo:

2 π r L E r = Q i n t ϵ 0 → E r = Q i n t 2 π ϵ 0 r L

Por conta da simetria do problema, o campo elétrico tem direção radial, logo:

E → r = Q i n t 2 π ϵ 0 r L r ^

Agora precisamos calcular a carga interna aqui

Passo 3

Vamos fazer aqui, basicamente, a mesma coisa que fizemos no item a , a diferença agora é que vamos integrar de 0 a r , logo:

Q i n t = ∫ 0 r ρ r d V

Q i n t = ∫ 0 r 2 π r L A r d r

Q i n t = 2 π L A ∫ 0 r d r

Q i n t = 2 π L A r

Substituindo esse cara na expressão do campo elétrico, teremos:

E → r = 2 π L A r 2 π ϵ 0 r L r ^

E → r = A ϵ 0 r ^

Passo 4

c Determine o campo elétrico em um ponto genérico na região entre os dois cilindros, com coordenada radial a ≤ r < b .

Novamente, o campo elétrico vai ter essa cara:

E → r = Q i n t 2 π ϵ 0 r L r ^

A diferença aqui é que agora a carga englobada pela gaussiana é toda a carga da cilindro interno, logo:

Q i n t = 2 π L A a

Logo:

E → r = 2 π L A a 2 π ϵ 0 r L r ^

E → r = A a ϵ 0 r r ^

Passo 5

d Determine o campo elétrico em um ponto genérico dentro da casca condutora, com coordenada radial b < r < c .

Aqui vai uma coisa que você tem que me prometer que vai guardar contigo: no equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior de um material condutor é sempre nulo.

Sendo assim, como a região b < r < c está no interior da casca condutora:

E → = 0 →

Passo 6

e Determine o campo elétrico em um ponto genérico na região exterior aos dois cilindros, com coordenada radial c < r < ∞ .

Já sabemos que o campo elétrico tem essa cara:

E → r = Q i n t 2 π ϵ 0 r L r ^

Agora, a carga envolvida pela gaussiana é a carga do cilindro interno e da casca cilíndrica, logo:

Q i n t = 2 π L A a + 0

Q i n t = 2 π L A a

Logo:

E → r = 2 π L A a 2 π ϵ 0 r L r ^

E → r = A a ϵ 0 r r ^

Resposta

a

Q L = 2 π A a

b

E → r = A ϵ 0 r ^

c

E → r = A a ϵ 0 r r ^

d

E → = 0 →

e

E → r = A a ϵ 0 r r ^

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