Um cabo coaxial muito longo, de comprimento l , é formado por um condutor cilíndrico de raio a e por uma casca condutora cilíndrica de raio b , conforme ilustrado na figura abaixo. Pelo condutor interno flui uma corrente I no sentido positivo de z positivo e pela casca externa flui uma corrente I no sentido de z negativo.

  1. Calcule o vetor campo magnético na região a < r < b .
  2. Calcule o fluxo do campo magnético na superfície delimitada pelos pontos ABCD, onde A = ( a , 0 , l / 2 ), B = ( b , 0 , l / 2 ), C = ( b , 0 , - l / 2 ), e D = ( a , 0 , - l / 2 ),
  3. Calcule ∫ B → . d l → ao longo do caminho aberto EF (com a orientação de E para F), onde E = ( a , 0,0 ) e F = ( b , 0,0 ).

Passo 1

Salve gente bonita!!! Simbora resolver essa questão.

  1. Para descobrirmos o campo magnético na região desejada, vamos de acordo com os seguintes passos:
    1. Ver qual tipo de coordenada mais se enquadra na resolução de maneira que possa facilitá-la.
    2. Analisar se há simetria para que assim utilizemos um método mais fácil de resolver a questão.
    3. Utilizar o método e encontramos a resposta

    Nesse caso, utilizaremos coordenadas esféricas, pois estamos trabalhando com um cilindro e as coordenadas esféricas se enquadra mais do que os outros dois tipos.

    “Não entendi, my Lord”

    Jovem gafanhoto, imagine uma esfera em um espaço tridimensional. Se você deixar θ e r constantes, que objeto forma? Um cilindro!!

    Por isso usamos as esféricas ( ͡~ ͜ʖ ͡°)

    Por se tratar de um cilindro, temos simetria!! Então.... Qual fórmula podemos utilizar para descobrirmos o campo magnético??

    A lei de Ampère. Assim, temos:

    ∮ B → . d l → = μ 0 I

    Como o campo elétrico é constante, sabemos que ele sairá de dentro da integral, sobrando apenas a integral de linha de d l → . Se a imagem do cilindro é um círculo, ∮ d l → será seu contorno. E qual o contorno de um círculo? Uma circunferência! Logo,

    B 2 π r = μ 0 I

    B → = μ 0 I 2 π r ϕ ^

    Passo 2

  2. Gente, para essa letra, vamos utilizar a fórmula de se encontrar o fluxo do campo e resolver a integral, de maneira a deixarmos mais simples e no ponto de só substituir suas variáveis por valores caso fosse pedido.
  3. Φ B = ∫ B → . d A →

    Observamos pela figura dada na questão que os quatro pontos formam um retângulo e sabemos que sua área é base vezes altura. A base, nesse caso, é a variação de r , ou seja, d r , enquanto a altura é l . Assim, d A = l d r .

    Substituindo B → pela equação que achamos na letra A) e d A → por   l d r ϕ ^ , temos:

    Φ B = ∫ a b μ 0 I 2 π r ϕ ^ .   l d r ϕ ^

    Φ B = μ 0 I l 2 π ∫ a b 1 r d r

    Φ B = μ 0 I l 2 π [ ln ⁡ b - ln ⁡ a ]

    Utilizando propriedades de logaritmo, temos:

    Φ B = μ 0 I l 2 π ln ⁡ b a

    Passo 3

  4. Galera, vamos tentar visualizar o que está acontecendo aqui. Temos dois vetores d l → e E F → .

d l → está na direção ϕ ^ , enquanto E F → está na direção r ^ . A imagem abaixo, vai facilitar essa visualização.

Como podemos ver, os vetores são perpendiculares, assim:

∫ B →   . d l →   = 0

Pois no produto escalar é feito a multiplicação dos módulos dos vetores pelo cosseno do ângulo formado entre eles e o cosseno de 90° é zero

Resposta

Item A ) B → = μ 0 I 2 π r ϕ ^

Item B ) Φ B = μ 0 I l 2 π ln ⁡ b a

Item C) ∫ B →   . d l →   = 0

Exercícios de Livros Relacionados

A Fig. 23-30 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo de 2,00 m de aresta, imersa em um campo elétrico dado porE → = 3,00 x + 4,00 i ^ + 6,00 j ^ + 7,00 k ^ N / C , com x em metros. Qual
Uma fina casca esférica não-condutora de raio R 1 tem carga total q 1 uniformemente distribuída em sua superfície. Uma segunda fina casca esférica não condutora e maior, de raio R 2 , coaxial com a pr
Uma esfera de raio R tem densidade volumétrica de carga ρ = B / r para rR , onde B é uma constante e ρ = 0 para rR . (a) Determine a carga total na esfera. (b) Determine as expressões par ao campo elé
Um cilindro sólido não condutor infinitamente longo de raio a tem uma massa específica volumétrico uniforme de ρ 0 . Mostre que o campo elétrico é dado pelas seguintes expressões: E R = ρ R / 2 ε 0 pa
Uma fina casca cilíndrica de comprimento 200m e raio 6,00c m tem uma densidade superificial uniforme de carga de 9,00n C / m 2 . (a) Qual é a carga total na casca? Determine o campo elétrico nas segui