Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 3, 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 74-54.

A figura mostra, em seção reta, duas esferas de raio R , com distribuições volumétricas uniformes das cargas. O ponto P está sobre a reta que liga os centros das esferas, a uma distância R 2 do centro da esfera 1 . Se o campo elétrico no ponto P é igual a zero, qual é a razão q 2 q 1 entre a carga da esfera 2 e a carga da esfera 1 ?

Passo 1

Encontrar o campo elétrico que a esfera 1 exerce em P . Nesse caso, o campo aponta no sentido da esquerda, supondo que as cargas das esferas são positivas. A lei de Gauss em simetria esférica nos leva sempre à mesma conclusão:

K . Q i n t r 1 2 = E 1

r 1 é a distância do centro da esfera 1 até o ponto P , que vale, no problema, R 2 . Então:

K . Q i n t R 2 2 = E 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Só que Q i n t é a carga que está dentro de uma esfera menor, de raio R 2 , afinal, é esta a gaussiana que utilizaríamos para calcular o campo elétrico no ponto P , localizado dentro no interior da primeira esfera.

Para calcular Q i n t , vamos usar a informação de que as esferas são uniformemente carregadas. A densidade volumétrica da primeira esfera vale:

q 1 4 3 . π . R 3 = σ 1

Logo:

Q i n t = σ 1 . 4 3 . π . R 2 3 = q 1 4 3 . π . R 3 . 4 3 . π . R 2 3 = q 1 8

Substituindo na equação do passo anterior:

K . q 1 8 R 2 2 = E 1 = K . q 1 2 . R 2

Passo 3

O mesmo cálculo é realizado para o caso da esfera 2 :

K . Q i n t r 2 2 = E 2

Porém, com duas diferenças:

  • A distância r 2 vale: R 2 + R = 3 R 2
  • A carga interna se encontra dentro de uma gaussiana que envolve toda a esfera 2 . Então, nesse caso, Q i n t = q 2

Logo:

K . Q i n t r 2 2 = E 2 = K . q 2 3 R 2 2 = K . 4 . q 2 9 . R 2

Passo 4

Para que as duas forças se anulem, o módulo delas deverá ser o mesmo e, com isso, podemos encontrar a razão entre as cargas:

K . q 1 2 . R 2 = K . 4 . q 2 9 . R 2

q 1 2 = 4 . q 2 9

q 2 q 1 = 9 8

Resposta

q 2 q 1 = 9 8

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