Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Lei de Gauss, Energia Potencial e Densidade de Energia

Considere duas placas grandes, paralelas, a uma distância d uma da outra, uma delas com densidade superficial de carga σ > 0 , uniforme, e a outra com densidade - σ . Entre as duas placas paralelas é colocada uma chapa metálica de espessura e < d , conforme mostra a figura.

a ) Demonstre que a intensidade do campo elétrico criado por um plano infinito com densidade superficial de carga σ é E = σ / ( 2 ϵ 0 ) .

b ) Utilizando o princípio de superposição e desprezando efeitos de borda, determine o vetor campo elétrico nas regiões 1 , 2,3 , 4 e 5 .

c ) Se a chapa metálica for retirada da região entre as placas, haverá aumento ou diminuição da energia eletrostática do sistema? Justifique a resposta.

Passo 1

a ) Demonstre que a intensidade do campo elétrico criado por um plano infinito com densidade superficial de carga σ é E = σ / ( 2 ϵ 0 ) .

Esse é um problema clássico de Lei de Gauss, que é dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Para calcular o campo elétrico criado por um plano infinito, vamos usar como gaussiana um cilindro de área transversal A que engloba apenas parte da placa infinita de carga Q i n t , como mostra a imagem:

Assim, podemos dar uma simplificada na Lei de Gauss:

E 2 A = Q i n t ϵ 0

O termo 2 A aparece pois o campo elétrico atravessa a gaussiana tanto na área da direita quanto na área da esquerda.

E = Q i n t 2 ϵ 0 A → E = σ 2 ϵ 0

Onde σ = Q i n t / A   é a densidade superficial de carga.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b ) Utilizando o princípio de superposição e desprezando efeitos de borda, determine o vetor campo elétrico nas regiões 1 , 2,3 , 4 e 5 .

Em cada região, o campo elétrico resultante será a soma vetorial dos campos elétricos gerados por cada placa. Então, pra não nos enrolarmos, é uma boa darmos nomes às placas.

Agora é só calcular o campo elétrico para cada região. Em cada uma delas:

E → = E → i + E → i i + E → i i i + E → i v

Passo 3

  • Região 1
  • E → 1 = - σ 2 ϵ 0 i → + σ 2 ϵ 0 i → - σ 2 ϵ 0 i → + σ 2 ϵ 0 i →

    E → 1 = 0 →

  • Região 2
  • E → 2 = σ 2 ϵ 0 i → + σ 2 ϵ 0 i → - σ 2 ϵ 0 i → + σ 2 ϵ 0 i →

    E → 2 = σ ϵ 0 i →

  • Região 3
  • E → 3 = σ 2 ϵ 0 i → - σ 2 ϵ 0 i → - σ 2 ϵ 0 i → + σ 2 ϵ 0 i →

    E → 3 = 0 →

  • Região 4
  • E → 4 = σ 2 ϵ 0 i → - σ 2 ϵ 0 i → + σ 2 ϵ 0 i → + σ 2 ϵ 0 i →

    E → 4 = σ ϵ 0 i →

  • Região 5

E → 5 = σ 2 ϵ 0 i → - σ 2 ϵ 0 i → + σ 2 ϵ 0 i → - σ 2 ϵ 0 i →

E → 5 = 0 →

Passo 4

c ) Se a chapa metálica for retirada da região entre as placas, haverá aumento ou diminuição da energia eletrostática do sistema? Justifique a resposta.

A densidade de energia eletrostática é dada por:

u = ϵ 0 E 2 2

E a energia eletrostática é dada por:

U = u × V o l u m e

Assim, quando retiramos a chapa metálica, acabamos aumentando o volume onde o campo elétrico não é nulo, já que o campo elétrico no interior da placa (Região 3) é nulo.

Portanto, haverá aumento da energia eletrostática.

Resposta

b )

E → 1 = 0 →

E → 2 = σ ϵ 0 i →

E → 3 = 0 →

E → 4 = σ ϵ 0 i →

E → 5 = 0 →

c )

Haverá aumento da energia eletrostática.

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