Encontre o vetor campo elétrico de uma carga pontual q à uma distância r dela.

Passo 1

Como sabemos que a configuração do campo de uma carga pontual é radial e esférico, escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário r , centrada na carga pontual. Pela lei de Gauss:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Sabemos que a carga interna à gaussiana é a carga q , portanto:

Q i n t = q

∯ G   E → ∙ d A → = q ϵ 0

Passo 2

Por termos escolhido uma Gaussiana esférica, o vetor campo e o vetor d A → são paralelos em toda a G , portanto:

E → ∙ d A → = E   d A

Segue que:

∯ G   E   d A = q ϵ 0

Passo 3

Pela configuração do campo, temos que o módulo dele é constante em toda G , portanto podemos tirá-lo da integral:

∯ G   E   d A = E ∯ G   d A

Como essa integral é a área da Gaussiana:

∯ G   d A = Á r e a G

Temos que:

∯ G   d A = 4 π r 2

Pois se trata da superfície de uma esfera de raio arbitrário r . Portanto:

E 4 π r 2 = q ϵ 0

Isolando:

E = q 4 π ϵ 0 r 2

Passo 4

Encontramos o valor do módulo do campo. Para achar o vetor, basta multiplicar por r ^ (r chapéu) que é o vetor unitário radial, pois já sabíamos que o campo era radial pra começo de conversa. Segue que:

E → = q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Resposta

E → = q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

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