Um cilindro maciço infinito, não condutor, de raio R , apresenta uma densidade volumétrica de carga variável dada por ρ r = A r / R , onde A é uma constante positiva e r é a distância ao eixo de simetria do cilindro.

Considere duas superfícies gaussianas cilíndricas S i (figura I abaixo) e S e (figura I I abaixo), com mesmo eixo de simetria do cilindro maciço, alturas h , raios r i < r e r e > R , respectivamente.

Note que suas respostas podem conter apenas as variáveis A , h , R , r i , r e e ϵ 0 .

a Calcule a carga elétrica no interior de S i e a carga elétrica contida no interior de S e .

b Calcule o módulo do campo elétrico E r , para r = r i e para r = r e .

c Esboce um gráfico de E r em função de r , considerando as regiões r ≤ R e r > R .

Passo 1

a Calcule a carga elétrica no interior de S i e a carga elétrica contida no interior de S e .

Vamos começar entendendo como calcular a carga elétrica nessas situações.

A densidade volumétrica de carga é definida por:

ρ = d q d V

Assim, se quisermos calcular a carga em determinada região, basta fazer:

d q = ρ d V

Q = ∫ ρ d V

Nesse caso, como se trata de uma superfície cilíndrica, o elemento d V será:

d V = 2 π r h   d r

Além disso, o enunciado nos disse que a densidade volumétrica de carga é dada por:

ρ r = A r R

Substituindo na expressão acima, teremos:

Q = ∫ 0 r A r R 2 π r h   d r

Q = 2 π A h R ∫ 0 r r 2 d r

Agora basta aplicar isso para cada situação.

Passo 2

No interior de S i , o raio varia entre 0 e r i , logo:

Q i = 2 π A h R ∫ 0 r i r 2 d r

Q i = 2 π A h R r 3 3 0 r i

Q i = 2 π A h r i 3 3 R

Já no interior de S e , como R < r e , o raio da nossa integral irá variar apenas entre 0 e R . Logo:

Q e = 2 π A h R ∫ 0 R r 2 d r

Q e = 2 π A h R r 3 3 0 R

Q e = 2 π A h R 3 3 R

Q e = 2 π A h R 2 3

Passo 3

b Calcule o módulo do campo elétrico E r , para r = r i e para r = r e .

O campo elétrico pode ser calculado utilizando a Lei de Gauss, dada por:

∯ E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Como estamos trabalhando com simetria cilíndrica, teremos:

E r 2 π r h = Q i n t ϵ 0

E r = Q i n t 2 π ϵ 0 r h

Agora basta aplicar isso a cada caso.

  • r = r i
  • Nesse caso, Q i n t = Q i , logo:

    E r i = Q i 2 π ϵ 0 r i h

    Substituindo a expressão de Q i , teremos:

    E r i = 1 2 π ϵ 0 r i h   2 π A h r i 3 3 R

    E r i = A r i 2 3 ϵ 0 R

  • r = r e

Nesse caso, Q i n t = Q e , logo:

E r e = Q e 2 π ϵ 0 r e h

Substituindo a expressão de Q i , teremos:

E r e = 1 2 π ϵ 0 r e h   2 π A h R 2 3

E r e = A R 2 3 ϵ 0 r e

Passo 4

c Esboce um gráfico de E r em função de r , considerando as regiões r ≤ R e r > R .

Quando r ≤ R , temos o caso de r i , onde o campo elétrico varia quadraticamente, de acordo com a equação:

E r = A r 2 3 ϵ 0 R

Para r > R , temos o caso de r e , onde módulo do campo passa a decair de acordo com a equação:

E r = A R 2 3 ϵ 0 r

Assim, o gráfico terá essa cara:

Resposta

a

Q i = 2 π A h r i 3 3 R

Q e = 2 π A h R 2 3

b

E r i = A r i 2 3 ϵ 0 R

E r e = A R 2 3 ϵ 0 r e

c

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