Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Lei de Gauss

Uma esfera isolante de raio R = 1,0   m possui densidade volumétrica de carga não uniforme dada pela função ρ r = A   r , onde a constante vale A = + 36   n C / m 4 . O sistema de coordenadas está indicado na figura (o eixo z sai do plano da figura). Use ε 0 = 9   ×   10 - 12   C 2 /   ( N m 2 ) .

a ) Adote uma superfície gaussiana esférica centrada na origem e de raio r = 50   c m . Use-a para calcular o módulo do campo elétrico produzido em todos os pontos a 50   c m da origem.

b ) Calcule, utilizando o resultado do item anterior, o vetor campo elétrico E → P no ponto P de coordenadas ( 40   c m ; 30   c m ; 0 ).

Suponha agora que uma caixa cúbica condutora de paredes espessas, carregada com carga líquida Q L Í Q = - 30   n C , seja colocada de forma a envolver totalmente nossa esfera isolante e eventualmente outras cargas. Suponha que a carga total da esfera isolante seja Q E S F =   + 100   n C . Medindo-se toda a quantidade de carga presente na superfície externa da caixa metálica encontrou-se Q E X T =   + 30   n C .

c ) Existem outras cargas, além da esfera isolante, na caixa metálica? Justifique sua afirmação e, em caso de resposta afirmativa, calcule o valor total destas outras cargas.

Passo 1

a )

Pela Lei de Gauss, temos:

∯ E → ∙ d A → = Q i n t ε 0

Como o corpo em questão é esférico e nossa gaussiana também, o campo será sempre paralelo à superfície, e também será constante, logo:

E . 4 π . r 2 = Q i n t ε 0

Agora, falta só definir a nossa carga interna!

Q i n t = ∫ 0 0,50 ρ d V = ∫ 0 0,50 A . r 4 . π . r 2 . d r

Q i n t = 4 . π . A . r 4 4 0 0,50

Q i n t = 4 . π . A . 0,50 4 4

Agora é só substituir na equação do campo!

E . 4 π . 0,50 2 = 4 . π . A . 0,50 4 4 ε 0

E = A .   0,50 2 4 ε 0 = 36 × 10 - 9 . 0,50 2 4 .   9 × 10 - 12

E = 250   N / C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Para determinar o campo no ponto P , precisamos determinar a que distancia ele está da origem! Podemos ver que se trata de um triangulo 3 ,   4 ,   5 , mas se você não viu isso....tranquilo, é só fazer um Pitágoras que sai!

d = 0,3 2 + 0,4 2

d = 0,09 + 0,16 = 0,25

d = 0,50

Show! Essa é a distância que calculamos no item a ! Agora é só determinar as componentes!

E → p = E . c o s θ   x ^ + E . sen ⁡ θ   ( y ^ )

Onde θ é o ângulo do triângulo 3 ,   4 ,   5 e E é o campo calculado no item a :

cos ⁡ θ = 0,40 0,50

sen ⁡ θ = 0,3 0 0,50

Portanto, o campo em P é:

E → p = 250 . 0,40 0,50   x ^ + 250 . 0,3 0 0,50   ( y ^ )

E → p = 200   x ^ + 150   y ^   ( N / C )

Passo 3

c )

Para determinar se existem outras cargas dentro da caixa metálica, podemos usar o fato de que o campo no interior de um condutor é nulo. Ou seja, se traçarmos uma gaussiana que envolva apenas a parte interna da caixa, a soma de cargas deve ser nula, pois o campo é necessariamente nulo!

Q t o t = Q I N T + Q E S F + Q O U T R A S = 0

Vamos começar determinando a carga na parte interior da caixa. Como temos que a caixa está carregada com carga - 30   n C e superfície externa apresenta + 30   n C , temos:

Q t o t = Q E X T + Q I N T

- 30 = 30 + Q I N T

Q I N T = - 60   n C

Agora é só substituir para determinar Q O U T R A S :

Q t o t = Q I N T + Q E S F + Q O U T R A S = 0

Q t o t = - 60 + 100 + Q O U T R A S = 0

Q O U T R A S = - 40   n C

Resposta

a ) E = 250   N / C

b ) E → p = 200   x ^ + 150   y ^   ( N / C )

c ) Q O U T R A S = - 40   n C

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas