Considere o objeto abaixo (um paralelepípedo) com uma carga + Q colocada em seu centro geométrico ( a 2 , b 2 , c 2 ) .

  1. Qual o fluxo total do campo elétrico através da superfície do objeto?
  2. Você pode calcular o campo elétrico em qualquer ponto da superfície do objeto sem usar a lei de Coulomb? Como?
  3. Troque o objeto por um cubo de lado a . A carga + Q é deslocada para o centro do cubo a 2 , a 2 , a 2 .

  4. Qual é o fluxo total do campo elétrico através do cubo? Você pode calcular o fluxo em cada uma das faces? Qual o fluxo em cada face?
  5. Você pode calcula o campo elétrico em qualquer ponto da superfície do cubo sem usar a lei de Coulomb? Como?
  6. Qual é o módulo do campo elétrico em cada um dos vértices do cubo?

Passo 1

Temos pela lei de Gauss que o fluxo do campo elétrico em uma superfície fechada se relaciona com a carga total dentro dessa superfície por

Φ E = ∮ s u r p E → . d A → = Q d e n t r o ϵ 0

Então não precisamos calcular essa integral chatinha se soubermos o quanto de carga tem na parte de dentro da superfície.

Φ E = Q ϵ 0

Passo 2

Temos que em cada ponto diferente dessa superfície o campo elétrico terá intensidade e direção diferentes, já que essa superfície não tem uma simetria tão forte.

Um exemplo de uma superfície com simetria forte é uma esfera: todos os pontos na superfície de uma esfera são equivalentes, de forma que podemos concluir que o campo elétrico tem mesma direção (no caso, radial) e magnitude em todos os pontos dessa superfície, nos permitindo usar a lei de Gauss para calcular a magnitude do campo elétrico.

Como a superfície do paralelepípedo não tem uma simetria tão forte a lei de Gauss não funciona para nos dar a intensidade do campo elétrico (mas nos dá o seu fluxo através da superfície de graça \o/)

Passo 3

Aqui mudamos a superfície para um cubo, mas mantemos a carga total dentro dessa superfície, isso significa que ainda podemos usar a lei de Gauss

Φ E = ∮ s u r p E → . d A → = Q d e n t r o ϵ 0

Ou seja, o fluxo não mudou!

Φ E t o t a l = Q ϵ 0

Agora temos que a carga está exatamente no centro geométrico do cubo, isso significa que todas as faces são equivalentes, ou seja o fluxo do campo elétrico sobre cada uma é igual, de forma que

Φ t o t a l = 6 Φ f a c e

Assim

Φ f a c e = Q 6 ϵ 0

Passo 4

Aqui temos a mesma situação que no paralelepípedo.

Apesar do cubo ter uma simetria maior que a do paralelepípedo (todas as faces são equivalentes) ela ainda não é suficiente para que somente usando a lei de Gauss possamos sabe o módulo e direção do campo elétrico em todos os pontos da superfície do cubo.

Passo 5

Aqui já podemos calcular o campo elétrico diretamente com a lei de Coulomb. Como a carga está exatamente no centro geométrico do cubo, ela está a uma distância dos vértices que metade da diagonal do cubo ( a 3 ), ou seja

r = a 3 2

Assim

E = Q 4 π ϵ 0 a 3 2 2

E = Q 3 π ϵ 0 a 2

Resposta

(a) Φ E = Q ϵ 0

(b) Não

(c) Φ E t o t a l = Q ϵ 0 e Φ f a c e = Q 6 ϵ 0

(d) Não

(e) E = Q 3 π ϵ 0 a 2

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