Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Lei de Gauss, Campo em Condutores

A figura abaixo mostra uma esfera não condutora de raio a com uma carga - Q uniformemente distribuída. Esta esfera é concêntrica a uma casca esférica condutora de raio interno b e raio externo c . A casca esférica possui uma carga em excesso de + 3 Q .

Determine o campo elétrico E → r → :

a ) No interior da esfera, r < a ;

b ) Entre a esfera e a casca esférica, a < r < b ;

c ) Dentro da casca;

d ) Fora da casca, r > c ;

e ) Que cargas surgem sobre as superfícies interna e externa da casca esférica?

Passo 1

a ) No interior da esfera, r < a ;

Antes de começar...

Esse problema é clássico de Lei de Gauss, que é dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Dada a geometria esférica do problema, podemos simplificar a Lei de Gauss:

E ∯ G   d A = Q i n t ϵ 0

E A = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t ϵ 0 A

Onde A é a área da nossa gaussiana que, pelo geometria do problema, é uma esfera, logo:

E = 1 4 π ϵ 0 Q i n t r 2

O último detalhe aqui é que, novamente, pela geometria esférica do problema, o campo elétrico estará sempre na direção radial. Sendo assim:

E → = 1 4 π ϵ 0 Q i n t r 2 r ^

Agora, para cada caso, o nosso único trabalho é determinar a carga interna Q i n t .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A região r < a engloba apenas parte da esfera isolante de carga - Q .

O problema nos disse que a carga está uniformemente distribuída. Isso significa que podemos calcular Q i n t com uma regra de 3 simples, usando os volumes:

Q i n t - Q = 4 π r 3 3 4 π a 3 3 → Q i n t - Q = r 3 a 3

Q i n t = - Q r 3 a 3

Assim, o campo elétrico para esta região será:

E → = - 1 4 π ϵ 0 Q r 2 r 3 a 3 r ^

E → = - 1 4 π ϵ 0 Q r a 3 r ^

Passo 3

b ) Entre a esfera e a casca esférica, a < r < b ;

Nessa região, somente a esfera está englobada pela gaussiana, logo, a carga interna será a carga da esfera:

Q i n t = - Q

Sendo assim:

E → = - 1 4 π ϵ 0 Q r 2 r ^

Passo 4

c ) Dentro da casca;

A casca é condutora, certo?!

Então aqui vai algo pra você guardar sempre contigo... no interior de um condutor, o campo elétrico é sempre nulo.

Portanto, na região b < r < c :

E → = 0 →

Passo 5

d ) Fora da casca, r > c ;

Essa região engloba tanto a esfera quando a casca condutora. Assim, a carga resultante será a soma das cargas da esfera e da casca:

Q i n t = - Q + 3 Q

Q i n t = 2 Q

Portanto:

E → = 1 4 π ϵ 0 2 Q r 2 r ^

E → = 1 2 π ϵ 0 Q r 2 r ^

Passo 6

e ) Que cargas surgem sobre as superfícies interna e externa da casca esférica?

Lembra que quando calculamos o campo elétrico na região b < r < c , dentro do condutor, eu disse que o campo elétrico ali é sempre nulo?

Uma gaussiana nessa região, englobaria a esfera de carga - Q e a superfície interna da casca esférica condutora, de carga Q s u p . i n t . Assim, para que o campo elétrico seja nulo, necessariamente:

Q i n t = 0

Q i n t = - Q + Q s u p . i n t = 0

Q s u p . i n t = Q

Mas você concorda que a carga total da casca condutora deve ser igual a 3 Q ?! (O enunciado que nos disse isso)

A carga total da casca esférica vai ser a soma das cargas nas superfícies interna e externa:

Q c a s c a = 3 Q

Q s u p . i n t + Q s u p . e x t = 3 Q

Q + Q s u p . e x t = 3 Q

Q s u p . e x t = 2 Q

Resposta

a )

E → = - 1 4 π ϵ 0 Q r a 3 r ^

b )

E → = - 1 4 π ϵ 0 Q r 2 r ^

c )

E → = 0 →

d )

E → = 1 2 π ϵ 0 Q r 2 r ^

e )

Q s u p . i n t = Q

Q s u p . e x t = 2 Q

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