A figura ao lado ilustra uma esfera oca condutora de raio interno a e raio externo b , que tem uma carga elétrica negativa - 3 Q . Uma carga pontual positiva + Q é fixada no centro da esfera oca. Na figura, r representa uma distância radial qualquer ao centro da esfera. Existe vácuo nas regiões r < a e r > b .

(a) Calcule o vetor campo elétrico (módulo, direção e sentido) em todos os pontos do espaço, ou seja, nas regiões (i) r < a , (ii) a < r < b e (iii) r > b .

(b) Represente, em um desenho esquemático, um esboço das linhas de campo elétrico nas regiões r < a , a < r < b e r > b .

(c) Determine a densidade superficial de carga na (i) superfície interna da esfera oca ( r = a ) e na (ii) superfície externa da esfera oca ( r = b ).

Passo 1

Vamos resolver apenas os itens (a) e (b) dessa vez, beleza?

Bem, vamos inicialmente analisar o problema: se temos uma carga positiva + Q no interior de uma casca condutora, a carga positiva irá induzir uma carga negativa - Q na superfície da casca interna, certo? A superfície da casca externa vai ficar então com os - 2 Q restantes.

A figura abaixo mostra o que acontece.

Passo 2

Agora, vamos utilizar a Lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico E → em cada uma das três regiões pedidas no enunciado, ou seja,

∮ E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0 .

Em todas as três regiões, o vetor E → é paralelo ao vetor normal da superfície. Temos, então, do lado direito da equação acima:

∮ E → ∙ d A → = ∮ E d A = E ∮ d A = E 4 π r 2 .

Isso simplifica a equação da Lei da Gauss para a seguinte expressão:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0 ,

E = Q i n t 4 π r 2 ϵ 0 .

Passo 3

Para a região (i) r < a , a carga interna Q i n t é a carga pontual + Q . Fazemos a substituição direta na expressão simplificada obtida no Passo 2:

E = Q 4 π r 2 ϵ 0 .

O vetor campo elétrico para essa região é dado por:

E → = Q 4 π r 2 ϵ 0 r ^ ,

onde r ^ é o vetor unitário que aponta para fora da carga positiva.

Passo 4

Para a região (ii) a < r < b , a carga interna Q i n t é nula, já que é uma casca esférica condutora! Com Q i n t = 0 , E → = 0 → .

Passo 5

Para a região (iii) r > b , a carga interna Q i n t é a soma da carga pontual + Q com a carga da casca esférica - 3 Q , ou seja, Q i n t = - 2 Q . Fazemos a substituição direta na expressão simplificada obtida no Passo 2:

E = - 2 Q 4 π r 2 ϵ 0 .

O vetor campo elétrico para essa região é dado por:

E → = - 2 Q 4 π r 2 ϵ 0 r ^ .

Passo 6

Bem, para desenhar um esboço das linhas de campo elétrico, precisamos lembrar que o campo sai das cargas positivas e entra nas negativas, o que está de acordo com a resposta obtida no item (a)!

As linhas de campo elétrico estão esboçadas na figura abaixo.

Resposta

(a) O vetor campo elétrico para as três regiões é dado por:

  1. Região r < a : E → = Q 4 π r 2 ϵ 0 r ^ ;
  2. Região a < r < b : E → = 0 → ; e
  3. Região r > b : E → = - 2 Q 4 π r 2 ϵ 0 r ^ .

(b) As linhas de campo elétrico são esboçadas na figura do Passo 6.

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