Enunciado

Determine o campo elétrico produzido por um plano infinito com uma distribuição de carga uniforme positiva por unidade de área igual à σ .

Passo 1

Primeiramente um desenho para ilustrar o aspecto do campo de um plano infinito carregado. Sabemos, pois decoramos, que ele é uniforme e estacionário (na primeira prova tudo é estacionário):

Passo 2

Agora enunciamos a lei de Gauss para tentar calcular o campo elétrico:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Escolhendo uma Gaussiana cilíndrica (prisma), podemos simplificar o cálculo do fluxo:

Como os vetores normais d A → são perpendiculares ao campo na lateral, temos somente o fluxo correspondente às tampas. Tenham elas área igual à A :

∯ T a m p a s E d A = Q i n t ϵ 0

Passo 3

Pela configuração do campo, ele tem módulo constante em toda G , portanto:

∯ G E d A = E ∯ G d A

Substituindo:

E ∯ T a m p a s d A = Q i n t ϵ 0

A integral de d A nas tampas é igual à área delas 2 A :

2 E A = Q i n t ϵ 0

Portanto o campo é:

E = Q i n t 2 A ϵ 0

Passo 4

Agora precisamos nos livrar dessa carga interna à Gaussiana, que é uma quantidade desconhecida. Como a densidade é constante, temos:

σ = Q i n t A

Logo:

Q i n t = σ A

Podemos então substituir:

E = σ A 2 A ϵ 0

Que resulta em:

E = σ 2 ϵ 0

E o módulo do campo é este. Se fosse pedido o vetor campo, precisaríamos de alguma espécie de sistema de coordenadas para poder especificar a direção deste, pois acima do plano carregado o vetor aponta para cima e abaixo do plano o vetor aponta para baixo. Se fosse o caso de termos um eixo O x alinhado ao campo, teríamos:

De onde segue:

E → = σ 2 ϵ 0 j ^ ,       y > 0 σ 2 ϵ 0 - j ^ ,       y < 0

Resposta

E = σ 2 ϵ 0

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