Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

UFRJ- Física 3 – P1 2018.1 - DIURNO - 7

Um fio fino, retilíneo e finito de comprimento L está uniformemente carregado com uma carga total Q . Desenha-se então uma superfície fechada S na forma de um cilindro reto de raio R e comprimento L , como mostrado na figura abaixo. O cilindro é posicionado de forma que seu eixo coincida com o eixo do fio e os centros de suas tampas toquem as extremidades do fio.

  1. O campo eletrostático produzido pelo fio é perpendicular a todos os pontos da superfície lateral do cilindro? Justifique.
  2. O campo eletrostático produzido pelo fio tem a mesma intensidade sobre todos os pontos da superfície lateral do cilindro? Justifique.
  3. É possível utilizar a lei de Gauss em conjunto com a superfície S para se obter uma expressão para o campo eletrostático produzido pelo fio em todo o espaço? Justifique.

Passo 1

Na Figura abaixo, consideramos apenas o fio finito para analisarmos e relembrarmos de algumas características. O eixo z passa pelo meio do fio e é perpendicular a ele e o ponto P está sobre esse eixo de simetria a uma distância z do centro do fio.

A gente viu que esse campo elétrico produzido por um fio uniformemente carregado finito sobre o P é

E → = 1 4 π ε 0 Q z z 2 + L 2 z ^   .

Ou seja, nesse ponto P , que está no eixo de simetria do fio, o campo elétrico tem componente apenas na direção de   z ^ .

Se tomamos outros pontos, como aqueles P 1 e P 2 da Figura acima, teremos um campo elétrico apontando numa direção arbitrária. Nesse caso, como você pode ver na Figura, os campos terão componentes nas duas direções  z ^ x ^ (paralela) e também terão intensidades diferentes em pontos diferentes.

Então, vamos resumir essas características:

  1. O campo elétrico sobre o eixo de simetria do fio FINITO aponta apenas na direção   z ^ e a sua intensidade muda com a distância z ;
  2. Em outros pontos, como P 1 e P 2 , os campos têm direções arbitrárias com componentes em ambas direções  z ^ e   x ^ ;
  3. O módulo desses campo, ou seja, a intensidade deles, têm valores diferentes sobre diferentes pontos fora do eixo de simetria acima e abaixo do fio FINITO;

Beleza até aqui?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) Agora, vamos “vestir” esse fio FINITO com o cilindro da Figura do enunciado.

A gente acabou de discutir e ver que o campo não é perpendicular a todos os pontos do espaço, pois esse campo pode ter componentes tanto na direção z ^ quanto na direção   x ^ . A componente desse campo que está na direção de   x ^ não contribui para o fluxo elétrico, pois forma um ângulo de 90 ˚ com o vetor normal à superfície.

Portanto, o campo elétrico produzido pelas cargas do fio FINITO não será sempre perpendicular à superfície do cilindro.

Passo 3

b) Do que a gente discutiu, vimos também que o campo elétrico não terá os mesmos valores em todos o pontos sobre a superfície desse cilindro. Além disso, o campo elétrico nas tampas desse cilindro também não será tangente às respectivas áreas. Ou seja, nas tampas do cilindro, teremos também campo elétrico perpendicular às áreas.

Passo 4

c) Agora a gente mata tudo de vez!! ;-)

Como o campo elétrico tem componentes em ambas as direções   z ^ e   x ^ , não tem o mesmo valor sobre a superfície lateral do cilindro e, além disso, tem também componentes perpendiculares às tampas, não conseguimos tirar o campo elétrico da integral na lei de Gauss para obter o valor do campo.

Por isso, não é possível utilizar a lei de Gauss para obter o valor do campo elétrico produzido por esse fio FINITO.

Resposta

  1. Não, pois o campo também tem componentes paralelas ao eixo do cilindro em outros pontos fora do eixo de simetria.
  2. Não, pois pontos fora do eixo de simetria têm intensidades do campo diferentes.
  3. Não, pois os valores do campo mudam em pontos diferentes da superfície e também tem componentes perpendiculares às tampas do cilindro.

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