Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

UFRJ- Física 3 – P1 2019.2

Dois planos infinitos e paralelos encontram-se uniformemente carregados com densidades superficiais de carga 2 σ e σ , como mostrado na figura abaixo. Sejam E 1 , E 2 e E 3 os módulos do campo elétrico resultante produzido pelos dois planos nos pontos 1, 2 e 3 indicados na figura, respectivamente. Nessa situação, podemos afirmar que:

(a) E 1 = E 3 > E 2

(b) E 2 > E 1 = E 3

(c) E 1 > E 2 > E 3

(d) E 1 >   E 3 > E 2

(e) E 2 >   E 1 > E 3

(f) E 2 >   E 3 > E 1

(g) E 1 =   E 2 > E 3

(h) E 3 >   E 1 = E 2

Passo 1

Vamos calcular o campo de cada plano separado e depois juntamos eles, ok?

Primeiro, o plano de cima.

Usando lei de gauss com simetria planar, temos que, o campo vale E = 2 σ 2 ϵ 0 = σ ϵ 0 , saindo da placa.

OBS.1) Uma coisa importante é notar que abaixo do plano, o campo vai apontar para “baixo” em todo o espaço. E acima do plano ele vai apontar para cima, em todo o espaço.

Agora, para o plano de baixo. Pela lei de gauss, com simetria planar, encontramos que o campo é E = σ 2 ϵ 0 ,   saindo da placa. Ou seja:

OBS.2) Uma coisa importante é notar que abaixo do plano, o campo vai apontar para “baixo” em todo o espaço. E acima do plano ele vai apontar para cima, em todo o espaço.

Notem que o módulo do campo em vermelho é menor do que o módulo do campo azul, pois as densidades superficiais são diferentes.

Agora, vamos juntar eles. Pelo principio da sobreposição podemos somar, vetorialmente, os campos. Então:

Notem, que ao sobrepor as imagens aquelas observações que eu escrevi tem que ser satisfeitas.

Agora, podemos ver que, no ponto 1, temos os campos vermelho e azul apontando pra cima (vamos considerar esse sentido como positivo, ok?). dessa forma:

E 1 = σ ϵ 0 +   σ 2 ϵ 0

E 1 = 3 2 σ ϵ 0

Na região 2, temos os campos em direções opostas, então

E 2 = σ 2 ϵ 0 - σ ϵ 0

E 2 = - σ 2 ϵ 0

Ah, ele fala que E 1 ,   E 2   e E 3   são os módulos dos campos naqueles pontos, então.

E 2 = σ 2 ϵ 0

E agora, na região 3, temos os dois campos apontando pra baixo.

Então

E 3 =   - σ 2 ϵ 0 - σ ϵ 0

E 3 = - 3 2 σ ϵ 0

Como estamos falando de módulo, temos:

E 3 = 3 2 σ ϵ 0

Comparando os três, temos:

E 1 = E 3 > E 2

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Resposta

Letra A).

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