Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

Elaboração Própria

Calcule a expressão para o vetor campo elétrico na região dentro de uma esfera carregada com densidade volumétrica de carga ρ :

ρ r = r 2

A esfera tem raio R .

Passo 1

Sabemos que o campo de uma esfera carregada tem configuração radial e simetria esférica, portanto escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário r . Portanto enunciamos a lei de Gauss:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Sabemos que a carga interna à Gaussiana neste caso é somente a carga total da esfera. Portanto vamos descobrir essa grandeza. Utilizando a expressão da densidade volumar:

ρ r = d q d V

Onde d V é uma unidade infinitesimal de volume. Isolando a quantidade infinitesimal de carga e integrando em toda a Gaussiana somente (pois é dentro dela que queremos achar a carga):

d q = ρ r d V

Q i n t = ∫ 0 r ρ r ' d V

*Só um lembrete bobo. Repare que eu pus uma apóstrofe no r dentro da integral. Sempre que a variável do limite de integração for a mesma do integrando, mude uma das duas. Agora não é hora de perguntar o porquê, só decore isso (não que vá acarretar numa perda de muitos pontos, mas vale à pena comentar).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que, como já vimos anteriormente:

V = 4 3 π r 3 → d V = 4 π r 2 d r

Substituindo e integrando (lembrando de mudar a variável r → r ' na integral):

Q i n t = ∫ 0 r r ' 2 4 π r ' 2 d r '

Q i n t = 4 π ∫ 0 r r ' 4 d r '

Q i n t = 4 π r 5 5

Passo 3

Por conta da forma da Gaussiana escolhida e da configuração do campo, temos que o vetor de campo E → e o vetor normal d A → são paralelos em toda G , portanto:

E → ∙ d A → = E   d A

Segue que:

∯ G   E → ∙ d A → = ∯ G   E   d A

Passo 4

Também pela configuração do campo, sabemos que o seu módulo é constante em toda G :

E → = c t e

Portanto podemos tirá-lo da integral:

∯ G   E   d A = E ∯ G   d A

A integral de d A em toda G é a área dela, portanto, como se trata da superfície de uma esfera de raio r , temos: ∯ G   d A = 4 π r 2

Segue que:

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

Isolando:

E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Substituindo e multiplicando pelo vetor unitário radial:

E → = 4 π r 5 5 × 1 4 π ϵ 0 r 2 r ^

E → = r 3 5 ϵ 0 r ^

Resposta

E → = r 3 5 ϵ 0 r ^

r < R

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