Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

UNICAMP-P1-2011-1DI-3- letras a, b

Um fio finito muito longo de comprimento L e carregado com uma carga - Q está no eixo de um cano cilíndrico condutor descarregado de raio interno a , raio externo b e mesmo comprimento L .

a ) Que cargas aparecem nas superfícies interna e externa do cano?

b ) Utilize a Lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico E → r para r < a , a < r < b e r > b ;

Passo 1

a) Que cargas aparecem nas superfícies interna e externa do cano?

O que acontece aqui é que, quando colocamos o fio com carga - Q no interior do cano cilíndrico, o fio atrai as cargas positivas do cano para a superfície interna e repele as cargas negativas do cano para a superfície externa.

No equilíbrio eletrostático, a carga da superfície interna deve ser, necessariamente:

Q s . i n t = - - Q

Q s . i n t = + Q

Entretanto, o cano deve manter a sua carga inicial, que nesse caso é zero (já que está descarregado).

Assim, a soma das cargas da superfície interna e da superfície externa deve ser igual a zero. Logo:

Q s . i n t + Q s . e x t = 0

Q s . e x t = - Q s . i n t

Q s . e x t = - Q

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Passo 2

b) Utilize a Lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico E → r para r < a , a < r < b e r > b ;

A Lei de Gauss é dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Simplificando a Lei de Gauss, teremos:

E A = Q i n t ϵ 0 → E = Q i n t A ϵ 0

Onde A é a área da nossa gaussiana, por onde passará o campo elétrico. Como se trata de uma geometria cilíndrica, a gaussiana será um cilindro de raio r e comprimento L , cuja área será dada por A = 2 π r L .

Logo:

E = Q i n t 2 π r L ϵ 0

Pra finalizar, como estamos trabalhando com geometria cilíndrica, o campo elétrico terá sempre direção radial. Assim:

E → = Q i n t 2 π r L ϵ 0 r ^

Agora, o nosso trabalho é determinar a carga interna à gaussiana para cada situação.

Passo 3

- r < a

Essa região engloba somente o fio carregado, logo:

Q i n t = - Q

Assim, o campo elétrico será dado por:

E → = - Q 2 π r L ϵ 0 r ^

Passo 4

- a < r < b

Essa região engloba o fio carregado e a superfície interna do cano cilíndrico, logo:

Q i n t = - Q + Q = 0

Logo:

E → = 0 →

Passo 5

- r > b

Essa região engloba o fio carregado e o cano cilíndrico descarregado, logo:

Q i n t = - Q

Assim:

E → = - Q 2 π r L ϵ 0 r ^

Resposta

a)

Q s . i n t = + Q

Q s . e x t = - Q

b)

- r < a

E → = - Q 2 π r L ϵ 0 r ^

- a < r < b

E → = 0 →

- r > b

E → = - Q 2 π r L ϵ 0 r ^

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