(Capítulo 23.7 – Exercício 30) Na Fig. 23-39, pequenas partes de duas linhas paralelas de cargas muito compridas são mostradas, fixas no lugar, separadas por uma distância L   =   8,0   c m . A densidade uniforme de cargas das linhas é + 6,0   μ C / m   para a linha 1 e - 2,0   μ C / m para a linha 2 . Em que ponto do eixo x o campo elétrico é zero?

Passo 1

Oii gente, vamos lá matar esse exercício 😉

Aqui queremos encontrar em que ponto do eixo x o campo elétrico vai ser nulo

Usaremos aqui o conceito da lei de Gauss pra encontrar o campo nas linhas paralelas de cargas isso para cada uma das linhas.

∮ A E ⋅ d A = q i n t   ϵ 0

Precisaremos fazer o somatório dos campos dessas linhas em função de uma posição x que queremos encontrar, após isso combinaremos esses campos e igualaremos a zero já que o enunciado quer x tal que o campo no ponto seja nulo.

Passo 2

Usando a Lei de Gauss, a gente pode encontrar o campo elétrico devido a uma linha carregada, a uma distância x dela. Fazendo assim, temos:

∮ A E ⋅ d A = q i n t   ϵ 0

E × A = q i n t ϵ 0

Onde a área será a área lateral do cilindro da superfície Gaussiana.

E 2 π r L = q i n t ϵ 0

Como o raio desse cilindro está no eixo x , vou escrever assim:

E 2 π x L = q i n t ϵ 0

E = q i n t 2 π x L ϵ 0

Passo 3

Aqui usaremos o conceito de densidade linear de cargas fazendo:

λ = q i n t l

q i n t = λ l

E substituindo na equação do campo, teremos:

E = λ L 2 π x L ϵ 0

Cortando em cima e embaixo:

E l i n h a = λ 2 π x ⋅ ϵ 0

E esse é o campo gerado por uma linha de cargas, beleza?

Olha aí, o nosso x apareceu em algum lugar, vamos achá-lo jajá.

Passo 4

Beleza! A gente achou o campo elétrico causado por uma linha infinita carregada qualquer.

Bora usar esse resultado nessa questão!

Considera que x + L 2 é a distância de um ponto à linha da esquerda, com λ e s q u e r d a   de densidade linear de carga.

Nesse caso, x - L 2 é a distância desse ponto até a outra linha, que possui λ d i r e i t a   de densidade linear de carga.

Daí, o campo elétrico total nesse ponto é dado pela soma dos campos devidos a cada linha :

E = E e s q u e r d a + E d i r e i t a = 0

E = λ e s q u e r d a 2 π x + L 2 ⋅ ϵ 0 + λ d i r e i t a 2 π x - L 2 ⋅ ϵ 0 = 0

Passo 5

Substituindo os dados temos:

0 = 6 × 10 - 6 2 π ( x + 4 ) ⋅ ϵ 0 - 2 × 10 - 6 2 π ( x - 4 ) ⋅ ϵ 0

Pra resolver vamos cortar todo mundo que é parecido, pega a tesoura aí, e a equação ficará com essa cara:

0 = 6 x + 4 - 2 x - 4

Nada mal mas dá pra melhorar:

2 x - 4 = 6 x + 4

Multiplicando cruzado teremos:

2 x + 8 = 6 x - 24

Isolando x :

4 x = 32

x = 32 4 = 8 c m

Ufa! Essa foi longa hahaha

Resposta

x = 8,0   c m

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