Exercícios Resolvidos de Lei de Gauss – Simetrias

A figura abaixo mostra uma esfera isolante, maciça, uniformemente carregada, de raio R , com densidade volumétrica de carga ρ ( ρ > 0 ).

Determine o módulo do vetor campo elétrico nas regiões r < R e r > R , onde r é a distância radial medida desde o centro da esfera.

Passo 1

Nesse problema, temos simetria esférica, então o campo elétrico deve ser radial.

Vamos pegar uma superfície gaussiana de raio r e relacionar o seu fluxo elétrico, lembrando que n ^ = r ^ .

ϕ = E → . n ^ A

Sabendo que a área da superfície de uma esfera é 4 π r ² :

ϕ = E → 4 π r ²

Agora vamos aplicar a Lei de Gauss

E → 4 π r 2 = Q i n t ε 0

Lembrando que ρ = Q V onde V = 4 π R 3 3 , vamos calcular o campo elétrico em r < R e r > R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

i) Para r < R

Quando r < R , a superfície gaussiana está dentro da esfera maciça, então a carga interna é

Q i n t = ρ V '

Onde V ' = 4 π r 3 3

Então

Q i n t = Q V V '

Q i n t = Q 4 π R 3 3 4 π r 3 3

Q i n t = Q r 3 R 3

Então, na Lei de Gauss:

E → 4 π r 2 = Q r 3 R 3 ε 0

E → = Q r 4 π ε 0 R 3

Passo 3

i) Para r > R

Nesse caso, a superfície gaussiana está exterior à esfera, então a carga dentro dela será

Q i n t = Q

Na Lei de Gauss:

E → 4 π r 2 = Q ε 0

E → = Q 4 π r 2 ε 0

Resposta

E → = Q r 4 π ε 0 R 3 ,   r < R Q 4 π r 2 ε 0 ,   r > R

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