Uma casca esférica condutora de raio interno a e raio externo b é carregada com carga Q , conforme a figura abaixo.

No interior do condutor r < a há uma carga pontual q . Denominamos por Q i n t e Q e x t , as cargas nas superfícies interna e externa do condutor, respectivamente, quando este chega ao equilíbrio.

Considere as afirmativas abaixo:

I Se q < 0 e Q = 5 q , então, para r > b , o campo elétrico aponta radialmente para fora e seu módulo é:

E r = 5 q 4 π ϵ 0 r 2

I I Se q > 0 e Q = - 5 q , então, para r > b , o campo elétrico aponta radialmente para dentro e seu módulo é:

E r = q π ϵ 0 r 2

I I I Se q = - 20   n C e Q = 30   n C , então Q i n t = 20   n C e Q e x t = 30 n C .

I V Se q = - 20   n C e Q = 30   n C , então Q i n t = 20   n C e Q e x t = 10 n C .

V Se as cargas q e Q forem ambas positivas o campo elétrico dentro docondutor não será nulo.

São verdadeiras as afirmativas:

a   I I ,     I V   e   V ;

b   I I   e   I V ;

c   I   e   I I I ;

d   I   e   I V ;

e   I   e   V ;

f     I I   e   I I I .

Passo 1

Vamos começar trabalhando com as cargas.

Sabemos que a relação entre as cargas Q i n t , Q e x t e Q é dada por:

Q = Q i n t + Q e x t

Além disso, sabemos que no interior de um material condutor, o campo elétrico é sempre nulo. Dessa forma, aplicando o conceito à lei de Gauss, utilizando simetria esférica na região dentro da casca cilíndrica, teremos:

∮ E → ∙ d A → = q i n t ϵ 0

E × 4 π r 2 = q i n t ϵ 0

E = q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Assim, para o campo elétrico ser nulo, é necessário que a carga interna à gaussiana seja nula. Portanto:

q i n t = Q i n t + q = 0

Q i n t = - q

Substituindo na primeira expressão, teremos:

Q = - q + Q e x t

Q e x t = Q + q

Agora vamos quebrar a cabeça com as afirmações.

Passo 2

I Se q < 0 e Q = 5 q , então, para r > b , o campo elétrico aponta radialmente para fora e seu módulo é:

E r = 5 q 4 π ϵ 0 r 2

Aplicando a Lei de Gauss a esse problema e utilizando a simetria esférica, teremos:

E = q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Para r > b :

q i n t = Q e x t + Q i n t + q

q i n t = Q + q - q + q

q i n t = Q + q

q i n t = 5 q - q = 4 q

Finalmente:

E = 4 q 4 π ϵ 0 r 2 = q π ϵ 0 r 2

A afirmação é falsa.

Passo 3

I I Se q > 0 e Q = - 5 q , então, para r > b , o campo elétrico aponta radialmente para dentro e seu módulo é:

E r = q π ϵ 0 r 2

Novamente, para r > b , teremos?

q i n t = Q + q

q i n t = - 5 q + q

q i n t = - 4 q

Assim, o campo elétrico será dado por:

E r = - 4 q 4 π ϵ 0 r 2 = - q π ϵ 0 r 2

Como q > 0 , q = q , logo:

E r = - q π ϵ 0 r 2

Como o campo é negativo, ele aponta radialmente para dentro e o módulo do campo é:

E r = q π ϵ 0 r 2

A afirmação é verdadeira.

Passo 4

I I I Se q = - 20   n C e Q = 30   n C , então Q i n t = 20   n C e Q e x t = 30 n C .

Para a superfície interna, temos que:

Q i n t = - q

Q i n t = 20   n C

Para a superfície externa, temos que:

Q e x t = Q + q

Q e x t = 30 - 20 = 10   n C

A afirmação é falsa.

Passo 5

I V Se q = - 20   n C e Q = 30   n C , então Q i n t = 20   n C e Q e x t = 10 n C .

Para a superfície interna, temos que:

Q i n t = - q

Q i n t = 20   n C

Para a superfície externa, temos que:

Q e x t = Q + q

Q e x t = 30 - 20 = 10   n C

A afirmação éverdadeira.

Passo 6

V Se as cargas q e Q forem ambas positivas o campo elétrico dentro do condutor não será nulo.

O campo elétrico no interior de um condutor é sempre nulo.

A afirmação é falsa.

Resposta

b   I I   e   I V ;

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