Para uma casca esférica condutora, de raio interno a e raio externo b , com centro no ponto P e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q . Em seguida, uma partícula (pontual) de carga 9 q é colocada no ponto P . Quais são as expressões corretas para as densidades superficiais de carga sobre as superfícies interna e externa da casca condutora, nessa ordem?

  1. σ i n t = ( Q - 9 q ) / ( 4 π a 2 ) e σ e x t = ( Q + 9 q ) / ( 4 π b 2 )
  2. σ i n t = 9 q / ( 4 π a 2 ) e σ e x t = ( Q - 9 q ) / ( 4 π b 2 )
  3. σ i n t = - 9 q / ( 4 π a 2 ) e σ e x t = ( Q + 9 q ) / ( 4 π b 2 )
  4. σ i n t = - 9 q / [ 4 π b - a 2 ] e σ e x t = ( Q + 9 q ) / ( 4 π b 2 )
  5. σ i n t = ( Q + 9 q ) / ( 4 π a 2 ) e σ e x t = ( Q - 9 q ) / ( 4 π b 2 )
  6. σ i n t = ( Q - 9 q ) / ( 4 π a 2 ) e σ e x t = - 9 q / ( 4 π b 2 )
  7. σ i n t = - 9 q / ( 4 π a 2 ) e σ e x t = Q / ( 4 π b 2 )

Passo 1

Como sabemos que, no equilíbrio eletrostático, não pode haver campo elétrico dentro de um condutor, utilizamos a lei de Gauss para este caso. Fechando uma gaussiana esférica dentro da casca:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

E → = 0 → Q i n t ϵ 0 = 0

Portanto a carga interna à nossa gaussiana é zero, só que existe aquela carga 9 q lá dentro já. Por consequência, temos que a carga na superfície interna da casca esférica deve compensar este fato:

Q S I + 9 q = 0

Q S I = - 9 q

Perfeito?

Passo 2

Agora é só fechar com o princípio da conservação de cargas. Uma carga - 9 q foi para a superfície interna da casca, no entanto, a carga total ainda tem que ser Q , que era quanto ela tinha no início!

Logo, a soma das cargas na superfície interna com a superfície externa tem que ser Q :

Q S E + Q S I = Q

Q S E + - 9 q = Q

Q S E = Q + 9 q

Pode parecer um pouco estranho, mas é isso aí mesmo.

Passo 3

Agora vamos calcular as densidades. Como se trata de uma carga distribuída numa superfície, basta dividir pela área:

A i n t = 4 π a 2

A e x t = 4 π b 2

Calculando:

σ i n t = - 9 q 4 π a 2

σ e x t = Q + 9 q 4 π b 2

Fim de papo.

Resposta

Letra c.

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