Duas placas grandes, planas e orientadas horizontalmente são paralelas entre si, a uma distância d uma da outra. A meio caminho entre as duas placas, o campo elétrico resultante tem magnitude E . Se a separação das placas é reduzida para d / 2   , qual é a magnitude do campo elétrico a meio caminho entre as placas?

(a) 0

(b) E

(c) E / 2

(d) 2 E

(e) 4 E

Passo 1

Primeiramente, vamos relembrar o que é um plano infinito carregado.

Considere um plano com densidade superficial de cargas σ cujas dimensões são tais que é possível considerá-lo infinito. O campo elétrico devido ao plano é perpendicular ao plano. Veja a figura abaixo.

Na figura, σ > 0 , pois as linhas de campo saem do plano.

Podemos determinar o módulo do campo elétrico   E → utilizando a lei de Gauss.

Esta lei diz que o fluxo ϕ de um campo elétrico   E → por uma superfície fechada genérica S é dada por

ϕ =   ∯ S E → ⋅ d S → = q i n t ϵ 0 ,       s e   h o u v e r   c a r g a s   d e n t r o   d e   S               0 ,         s e   n ã o   h o u v e r   c a r g a s   d e n t r o   d e   S

Na equação anterior, q i n t é a carga elétrica líquida dentro da superfície S .

A ideia é utilizar uma superfície gaussiana adequada para determinar o módulo do campo elétrico. Faremos isso no próximo passo.

Passo 2

Vamos tomar a superfície gaussiana como um cilindro. Veja na imagem abaixo.

Assim, pela lei de Gauss, temos que

∯ S E → ⋅ d S → = ∫ t a m p a E → ⋅ d S → + ∫ l a t e r a l E → ⋅ d S → + ∫ t a m p a E → ⋅ d S → = q i n t ϵ 0

Na superfície gaussiana, o campo elétrico é perpendicular a lateral do cilindro e paralelo nas tampas. Deste modo, temos que

∫ l a t e r a l E → ⋅ d S → = 0                     e                     ∫ t a m p a E → ⋅ d S → = E → × ∫ t a m p a d S = E → × A t a m p a

com A t a m p a a área da tampa (de cima ou de baixo).

Assim, temos que

∫ t a m p a E → ⋅ d S → + ∫ l a t e r a l E → ⋅ d S → + ∫ t a m p a E → ⋅ d S → = q i n t ϵ 0

E → × A t a m p a + 0 + E → × A t a m p a = q i n t ϵ 0

2 E → × A t a m p a = q i n t ϵ 0

Vamos determinar a carga dentro da superfície gaussiana. Sabemos que a densidade superficial de carga do plano é σ . Deste modo, temos imediatamente que

q i n t = σ × A t a m p a

Desta forma, finalmente temos que

2 E → × A t a m p a = σ × A t a m p a ϵ 0

E → = σ 2 ϵ 0

Note que o módulo do campo elétrico é constante! Isso significa o campo elétrico tem a mesma intensidade em todos os pontos sobre o plano!

Vamos para o próximo passo para continuarmos nossa análise.

Passo 3

O enunciado diz que existem duas placas grandes, planas e orientadas horizontalmente, que são paralelas entre si e estão a uma distância d uma da outra. Assim, vamos supor que as placas são planos infinitos carregados e que uma das placas possua uma densidade de carga σ 1 e a outra σ 2 . Veja a figura.

Na figura anterior,  n ^ é um vetor unitário perpendicular às placas.

Utilizando o resultado do passo anterior, sabemos que o campo elétrico gerado por cada placa será

E → 1 = σ 1 2 ϵ 0   n ^                     e                     E → 2 =   - σ 2 2 ϵ 0   n ^

Assim, o campo elétrico resultante entre as placas é dado por

E → R = E → 1 + E → 2 = σ 1 2 ϵ 0   n ^ - σ 2 2 ϵ 0   n ^ = σ 1 - σ 2 2 ϵ 0   n ^  

Note que o campo elétrico resultante é constante, isto é, não depende da posição em que se é medido.

Continuando, o enunciado define como E como a magnitude do campo elétrico resultante a meia distância entre as placas. Como o campo elétrico resultante é constante, temos imediatamente que

E = σ 1 - σ 2 2 ϵ 0

Note que E também não depende da distância entre as placas. Isso será bem importante!!

Posteriormente, o enunciado diz que a distância entre as placas é reduzida pela metade d / 2 e pergunta o que ocorre com E .

Como E não depende da distância entre as placas, então E se mantem INALTERADO!

Assim, analisando as alternativas do exercício, vemos que a alternativa correta é a letra b .

Resposta

L e t r a   ( b )

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