A figura mostra uma seção reta de uma placa não-condutora muito extensa com uma espessura d = 9,40   m m e uma densidade volumétrica de cargas uniforme ρ = 5,8   f C / m 3 .

A origem do eixo x está no centro da placa.

Determine o módulo do campo elétrico em:

  1. x = 0 ;
  2. x = 2,00   m m ;
  3. x = 4,70   m m ;
  4. x = 26,0   m m ;

Passo 1

Beleza! Aqui já está na cara que vamos ter que usar a Lei de Gauss pra facilitar a nossa vida.

Como estamos trabalhando com uma placa, pra facilitar a nossa vida, vamos usar uma simetria planar. Beleza, show! Mas como assim?!

É o seguinte, para esse tipo de simetria (ou toda vez que o problema te falar em placas carregadas, ou chapas), uma boa gaussiana é um cilindro com o eixo perpendicular à chapa.

Eu sei que pode parecer doideira, mas é o melhor caminho pra resolver o problema.

Bom, a gaussiana tem mais ou menos essa cara aqui, quando olhamos de lado:

Por causa desse tipo de geometria, o fluxo elétrico através da parede perpendicular à chapa é igual a zero. Assim, só importa para nós o fluxo através das “tampas” do nosso cilindro.

Matematicamente, a Lei de Gauss é a seguinte fórmula:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

E como nas tampas da nossa gaussiana, o campo elétrico é constante e perpendicular à superfície (logo, E → é paralelo a d A → ), podemos reescrever a Lei de Gauss dessa maneira:

2 E A = Q i n t ϵ 0

Onde a área A vai ser sempre a área da tampa do nosso cilindro.

Obs: Ah! Se você estiver se perguntando “Credeuspai! Porque apareceu esse 2 aí na frente?”, lembre-se que o campo elétrico flui através das duas tampas do cilindro, por isso você não pode esquecer de multiplicar por 2, nesse caso!

Organizando essa bagunça, o campo elétrico vai ser dado por:

E = Q i n t 2 A ϵ 0

Agora temos que associar a carga Q i n t com a nossa gaussiana. Vou fazer isso no próximo passo para fazer um apelo dramático.

Passo 2

E = Q i n t 2 A ϵ 0

Como o problema se trata de uma densidade volumétrica de carga ρ , vamos fazer o seguinte.

  ρ = Q i n t V → Q i n t = ρ V

Onde V corresponde ao “volume de cargas” dentro da nossa gaussiana.

Logo:

E = ρ V 2 A ϵ 0

Passo 3

  1. x = 0 ;
  2. Quando x = 0 é como se a nossa gaussiana simplesmente não existisse.

    Assim, mesmo que não soubéssemos a fórmula, é intuitivo que:

    E = 0

    Passo 4

  3. x = 2,00   m m ;
  4. Para esse valor de x , a nossa gaussiana está toda no interior da placa.

    Sabemos que o campo elétrico é dado por:

    E = ρ V 2 A ϵ 0

    Nesse caso, V é dado por V = 2 x A . Onde 2 x é a altura do cilindro que escolhemos como gaussiana, que vai depender do que o problema te pedir.

    Substituindo de volta na fórmula, vemos que o campo elétrico é dado por:

    E = ρ V 2 A ϵ 0

    E = ρ 2 x A 2 A ϵ 0

    E = x ρ ϵ 0

    Agora sim, podemos ser felizes!

    x = 2,0   m m = 2 × 10 - 3 m ;

    ρ = 5,8   f C / m 3 = 5,8 × 10 - 15   C / m 3 ;

    ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12   C N - 1 m - 2 ;

    Portanto:

    E = 2 × 10 - 3 × 5,8 × 10 - 15 8,85 × 10 - 12

    E = 1,31 × 10 - 6   N / C

    E = 1,31   μ N / C

    Passo 5

  5. x = 4,7 m m ;
  6. Para esse valor de x , a nossa gaussiana vai de borda a borda da placa.

    Nesse caso, o raciocínio é o mesmo Passo 4.

    E = x ρ ϵ 0

    Onde

    x = 4,7   m m = 4,7 × 10 - 3 m ;

    ρ = 5,8   f C / m 3 = 5,8 × 10 - 15   C / m 3 ;

    ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12   C N - 1 m - 2 ;

    Portanto:

    E = 4,7 × 10 - 3 × 5,8 × 10 - 15 8,85 × 10 - 12

    E = 3,08 × 10 - 6   N / C

    E = 3,08   μ N / C

    Passo 6

  7. x = 26,0   m m ;

Nesse caso, a gaussiana tem altura maior que a espessura da placa.

Agora, concorda que, a partir do momento que a gaussiana “sai” do interior da placa, a carga interna permanece sempre constante?

Isso significa que o “volume de cargas” no interior da gaussiana permanece constante e igual a V = A d . Logo:

E = ρ V 2 A ϵ 0

E = ρ A d 2 A ϵ 0 = ρ d 2 ϵ 0

Onde:

d = 9,4   m m = 9,4 × 10 - 3 m ;

ρ = 5,8   f C / m 3 = 5,8 × 10 - 15   C / m 3 ;

ϵ 0 = 8,85 × 10 - 12   C N - 1 m - 2 ;

Portanto:

E = 9,4 × 10 - 3 × 5,8 × 10 - 15 2 × 8,85 × 10 - 12

E = 3,08 × 10 - 6   N / C

E = 3,08   μ N / C

Isso mostra que, fora da chapa, o campo elétrico permanece constante, independente da distância.

Resposta

  1. E = 0 ;
  2. E = 1,31   μ N / C ;
  3. E = 3,08   μ N / C ;
  4. E = 3,08   μ N / C ;

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