Enunciado

O valor do módulo do campo elétrico presente na superfície de uma esfera condutora de raio R = 5   c m , mostrada na figura abaixo, é igual a 100   N / C . O campo elétrico aponta para o interior da esfera.

a ) Calcule a carga resultante Q na superfície da esfera (deixe o resultado em função de π e ε 0 ).

Considere agora que um anel isolante uniformemente carregado com carga total igual a - Q é colocado numa distância d d > R do centro da esfera como indicado na figura acima (o anel é visto de perfil).

b ) Sabendo que o raio do anel é r = 3 d , calcule o vetor campo elétrico resultante no ponto P de coordenada x = 2 d (deixe o resultado em função de d ).

Passo 1

a ) Calcule a carga resultante Q na superfície da esfera (deixe o resultado em função de π e ε 0 ).

O problema nos deu o raio da esfera e o campo elétrico na sua superfície, então, pra descobrirmos o valor da carga, basta usar a lei de Gauss, dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Devido à simetria do problema, a nossa gaussiana será uma esfera de raio R = 5   c m , que engloba toda a esfera.

Obs.: Como o campo elétrico aponta para dentro da esfera, isso significa que a carga Q é negativa, logo:

4 π R 2 E = - Q ϵ 0

Q = - 4 π ϵ 0 R 2 E

Onde:

R = 5   c m = 5 × 10 - 2 m

E = 100   N / C

Finalmente:

Q = - 4 π ϵ 0 × 5 × 10 - 2 2 × 100

Q = - π ϵ 0   C

Passo 2

b ) Sabendo que o raio do anel é r = 3 d , calcule o vetor campo elétrico resultante no ponto P de coordenada x = 2 d (deixe o resultado em função de d ).

O campo elétrico resultante no ponto P será a soma vetorial dos campos da esfera e do anel.

E → = E → e s f + E → a n e l

Então vamos calcular cada um separadamente:

  • E → e s f :
  • O campo elétrico gerado pela esfera no ponto P é determinado pela lei de Gauss, onde a gaussiana, nesse caso, será uma esfera de raio r = 2 d , que é a distância entre o centro da esfera e o ponto P , logo:

    4 π 2 d 2 E e s f = Q ϵ 0

    16 π d 2 E e s f = Q ϵ 0

    E e s f = Q 16 π ϵ 0 d 2

    Como o campo elétrico te direção radial, no ponto P , o vetor campo elétrico gerado pela esfera será:

    E → e s f = Q 16 π ϵ 0 d 2 x ^

    Onde Q = - π ϵ 0   C , logo:

    E → e s f = - π ϵ 0 16 π ϵ 0 d 2 x ^

    E → e s f = - 1 16 d 2 x ^

    Passo 3

  • E → a n e l :

Para calcular o campo elétrico gerado pelo anel, vamos começar escrevendo a expressão do campo elétrico gerado por um pedaço infinitesimal do anel, de carga d q :

d E → a n e l = d q 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Vamos pegar dois pontos simétricos do anel, ambos de carga d q , e ver o campo elétrico resultante no ponto P .

Consegue ver que as componentes perpendiculares a x vão se anular e as componentes paralelas a x vão se somar?

Isso vai acontecer para cada par de pontos simétricos, logo, o resultado disso é que o campo elétrico gerado pelo anel terá apenas componente na direção do eixo x , isso significa que não precisamos nos preocupar com as outras direções.

d E → a n e l = d E cos ⁡ θ x ^

Além disso, da imagem acima, podemos tirar que:

d q = λ R   d θ = λ 3 d   d θ

r = 3 d 2 + d 2 = 3 d 2 + d 2

r = 2 d

cos ⁡ θ = d 2 d = 1 2

Logo:

d E → a n e l = λ 3 d 4 π ϵ 0 2 d 2 1 2 d θ   x ^

d E → a n e l = λ 3 d 32 π ϵ 0 d 2 d θ   x ^

Agora basta integrar esse cara em relação a θ , onde 0 < θ < 2 π :

E → a n e l = λ 3 d 32 π ϵ 0 d 2 ∫ 0 2 π d θ x ^

E → a n e l = 2 π λ 3 d 32 π ϵ 0 d 2 x ^

E → a n e l = 2 π λ 3 d 32 π ϵ 0 d 2 x ^

A densidade linear de carga é dada por:

λ = - Q 2 π 3 d → - Q = 2 π λ 3 d

Logo:

E → a n e l = - Q 32 π ϵ 0 d 2 x ^

Onde Q = - π ϵ 0   C , logo:

E → a n e l = π ϵ 0 32 π ϵ 0 d 2 x ^

E → a n e l = 1 32 d 2 x ^

Passo 3

Finalmente, o campo elétrico resultante no ponto P será:

E → = E → e s f + E → a n e l

E → = - 1 16 d 2 x ^ + 1 32 d 2 x ^

E → = - 1 32 d 2 x ^

Resposta

a )

Q = - π ϵ 0   C

b )

E → = - 1 32 d 2 x ^

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