Exercícios Resolvidos de Torque

Uma bola de 1,0 kg e uma bola de 2,0 kg, presas por um bastão rígido de 1,0 m de comprimento e massa desprezível, giram em torno do centro de massa do sistema no sentido horário a 20 rotações por minuto. Qual o torque necessário para levar o sistema ao repouso em 5,0 s?

Passo 1

Temos nesse caso um corpo que possui uma velocidade angular inicial e deseja-se para-lo em um determinado tempo.

Para que esse corpo pare, é necessário uma aceleração angular contrária, que será gerado por um torque. A questão pede para se encontrar esse torque.

Sabemos que a segunda lei de newton para a rotação é:

τ R → = I α →

Vamos começar encontrando o momento de inércia desse corpo.

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Passo 2

Temos duas bolas presas por um bastão rígido. Para encontrarmos o momento de inércia em relação ao centro de massa, primeiro precisamos encontrar o seu centro de massa.

Para encontrar o centro de massa, eu escolhi um ponto para ser a origem e tracei o meu eixo x a partir dele. Agora é só jogar os valores na fórmula.

x c m = m 1 x 1 +   m 2 x 2 m 1 + m 2 = 1   .   0 + 2   .   1 3 = 2 3 m

Conhecendo o centro de massa, agora eu consigo calcular o momento de inércia, considerando a massa de 1kg e a massa de 2kg como partículas:

I = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2

I = 1   .   2 3 2 + 2   .   1 3 2 = 2 3 = 0,667 k g m 2

Passo 3

Agora que encontramos o momento de inércia, precisamos saber qual deve ser a aceleração angular desse corpo.

A velocidade angular inicial dele foi dada como 20 rotações por minuto, passando para o SI teremos:

ω 0 = 20 r o t m i n = 20 2 π r a d 60 s = 20   .   2 π 60 r a d / s

ω o = 2,09   r a d / s

O enunciado pede que, com essa aceleração contrária, esse corpo pare em um tempo de 5s.

Podemos utilizar então a equação de variação da velocidade angular:

ω = ω 0 + α t

0 = 2,09 + α * 5

α =   - 0,418 r a d / s 2

Encontramos uma aceleração angular pois ela é contrária a velocidade angular. O que faz TODO O SENTIDO, afinal essa é na verdade uma desaceleração.

Passo 4

Agora é só pegar esses valores de momento de inércia e de aceleração angular e colocar na segunda lei de newton para encontrarmos o torque!

τ R = I α = 0,667 * - 0,418 = - 0,278 N m

Encontramos um valor negativo, o que indica que esse torque é contrário a velocidade angular. O que também faz TODO O SENTIDO, afinal esse torque está desacelerando o corpo.

Resposta

O módulo do torque necessário é 0,28Nm.

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