Exercícios Resolvidos de Torque

Corpos Rígidos, Rotação, Dinâmica de Rotação

O caminhão ilustrado abaixo, está com sua lança esticada L = 10   m desde seu eixo A até a sua ponta C . Sua inclinação é de 37 ° em relação à horizontal. A massa da lança é m L = 400   k g e para simplificar os cálculos considere-a uniformemente distribuída. O caminhão está estacionado, com a lança sustentando uma viga de aço de 5   m   de comprimento e massa m V = 600   k g , que se encontra na posição horizontal. De forma a manter tudo em equilíbrio estático, um braço hidráulico no topo da cabine de controle, inclinado de 67 ° em relação à horizontal, atua com uma força F b = 25.600   N no centro de massa da lança B . Despreze o atrito da lança com o eixo e as masas dos cabos e do gancho.

Utilize: sen ⁡ ( 37 ° ) =   0,60 ; cos ⁡ 37 ° = 0,80 ; sen ⁡ 67 ° = 0,92 ; cos ⁡ 67 ° = 0,39 .

a ) Determine o vetor torque τ A →   em relação ao eixo exercido pelo braço hidráulico sobre a lança.

b )   Determine o vetor força F A → que atua sobre a extremidade da lança presa ao eixo

c ) Suponha agora que em determinado instante, o braço hidráulico pare de atuar, calcule para este instante o módulo da aceleração angular da lança.

Passo 1

Caraca...que enunciado longo! Mas não se assuste, se liga na resolução!

a )

Para resolver o item a , precisamos lembrar da fórmula de torque τ → = r →   ×   F → ou τ → = r   .   F   .   s e n ⁡ ( θ ) . Lembrou? Então, vamos lá, o que a gente precisa saber é a força exercida pelo braço, a distância de onde o braço atua até o eixo A da lança e o ângulo entre esses dois vetores. Ahh...tranquilo!

F b = 25.600   N

Esse valor foi dado no enunciado

r = L 2

Epaa...de onde surgiu esse r = L 2 ? Bom, o enunciado disse que o centro de massa da lança se encontra em B e que a massa da lança está uniformemente distribuída, e por causa disso, sabemos que B , onde o braço hidráulico atua, é exatamente o meio da lança e portanto está à L 2 de distância do eixo A ! Ahhh...agora sim!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já temos os dois valores, precisamos descobrir o ângulo entre eles. Mas isso não é muito difícil...olha só!

Achar θ agora ficou fácil!

180 ° = θ + 37 ° + ( 180 - 67 ° )

θ = 30 °

Passo 3

Pronto! Agora podemos achar o torque. Lembrando que para descobrir o sentido e a direção do vetor torque, basta usar a regra da mão direita!

τ A → = L 2     .     25.600     .     s e n ⁡ ( 30 ° )

τ A → = 10 2     .     25.600     .   1 2

τ A → = 64.000   N   k ^

Passo 4

b )

Vamos agora resolver o item b . Para isso, temos que lembrar que no equilíbrio estático o somatório das forças e dos torques é nulo. Para achar a força F A → , faremos o somatório para cada componente. Vamos começar pela componente x .

Na componente x , somente temos duas forças atuando, a componente x da força no eixo A , F A x , e a componente x da força que o braço hidráulico excerce em B , F b c o s ⁡ ( 67 ° )

∑ F x = F A x + F b cos ⁡ 67 ° = 0

F A x = - 25.600   .   0,39

F A x = - 9,984   N

Passo 5

Para a componente y , temos, além das componentes y das forças exercidas no eixo A , F A y , e no eixo B , F b s e n ⁡ ( 67 ° ) , a força peso da própria lança, m L .   g e a força peso, m V   .   g da viga suspensa em C .

∑ F y = F A y + F b sen ⁡ 67 ° - m L . g - m V . g = 0

F A y = - 25.600   .   0,92 + 400   .   10 + 600   .   10

F A y = - 13,552   N

Ou seja:

F A → = 9,984 - i ^ + 13,552 - j ^   N

Passo 6

c )

Vamos acabar logo com isso e resolver o item c . Para calcular o módulo da aceleração angular no momento em que o braço hidráulico para de atuar, devemos lembrar que a aceleração em torno de um eixo é igual ao somatório dos torques dividido pelo momento de inércia em torno deste eixo.

α = ∑ τ A I

Passo 7

Para achar o momento de Inérica, devemos lembrar do teorema dos eixos paralelos, I = I C M + M h 2 , para a lança, temos:

I = 1 12   .   M L 2 + M h 2

I = 1 12   .   m L L 2 + m L L 2 2

I = 1 12 .   400   .   10 2 + 400 10 2 2

I = 13.333   k g / m 2

Passo 8

Agora precisamos achar o torque! Podemos calcular o torque exatamente como fizemos para o item a , no entanto agora estão atuando somente a força peso da lança e a força peso da viga.

τ = - m L   .   g   . L 2   . cos ⁡ 37 ° - m V   .   g   .   L   .   c o s ⁡ ( 37 ° )

τ = - 400   .   10   . 10 2   .   0,80 - 600   .   10   .   10   .   0,80

τ = - 64.000   N m

Passo 9

Agora podemos calcular a aceleração angular:

α = ∑ τ A I

α = - 64.000 13.333

α = 4,8   r a d / s 2

Resposta

a )   τ A → = 64.000   N   k ^

b )   F A → = 9,984 - i ^ + 13,552 - j ^   N

c )   α = 4,8   r a d / s 2

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