Exercícios Resolvidos de Torque

Considere dois cilindros homogêneos, de mesma massa, porém um possui o dobro do raio do outro, conforme as figuras. Ambos os cilindros são livres para rodar em torno de um eixo que passa pelos seus respectivos centros e uma força tangencial é aplicada no topo de ambos, fazendo com que passem a girar. Para que ambos girem com a mesma aceleração angular, é preciso que:

(Dado: Se m é a massa e r é o raio de um cilindro homogêneo, I C M = m r 2 / 2 )

(A) A força aplicada no cilindro menor tem de ser o dobro da força aplicada no cilindro maior.

(B) A força aplicada no cilindro menor tem de ser a metade da força aplicada no cilindro maior.

(C) A força aplicada no cilindro menor tem de ser a igual à força aplicada no cilindro maior.

(D) A força aplicada no cilindro menor tem de ser 4 vezes maior que a força aplicada no cilindro maior.

(E) A força aplicada no cilindro menor tem de ser 4 vezes menor que a força aplicada no cilindro maior

Passo 1

Queremos relacionar as forças F 1 e F 2 a partir das acelerações angulares α dos dois cilindros...

De que forma podemos fazer isso?

Como uma força na borda do cilindro gera um torque τ , uma boa forma de relacionar força com aceleração angular é a partir da segunda lei de Newton para rotações:

τ = I α

α = τ I

Se as acelerações angulares dos dois cilindros devem ser iguais, temos que:

α 1 = α 2

τ 1 I 1 = τ 2 I 2

Sabemos calcular os momentos de inércia I de cada cilindro e podemos relacionar as forças F 1 e F 2 a partir dos torques que elas geram.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular os momentos de inércia...

O momento de inércia de um cilindro com relação a um eixo passando pelo seu centro de massa é dado por:

I C M = m r 2 2

Os dois cilindros têm a mesma massa que chamaremos de M .

O primeiro cilindro tem raio 2 R :

I 1 = M 2 R 2 2

I 1 = 4 M R 2 2

I 1 = 2 M R 2

Já o cilindro 2 tem raio R :

I 2 = M R 2 2

Passo 3

Agora, vamos calcular os torques de cada força.

O torque de uma força é dado pelo produto vetorial entre a posição do ponto de aplicação da força r → com a força em si F → :

τ → = r → × F →

Só estamos interessados no módulo do torque, que é dado por:

τ = r F s e n θ

Como o vetor posição e o vetor força são perpendiculares em ambos os casos:

temos que o ângulo θ entre eles é 90 ° :

τ = r F s e n 90 °

τ = r F

Para o cilindro 1, temos:

τ 1 = 2 R F 1

Enquanto para o cilindro 2, temos:

τ 2 = R F 2

Passo 4

Agora basta substituir essas expressões de torque e momento de inércia na equação inicial:

τ 1 I 1 = τ 2 I 2

2 R F 1 2 M R 2 = R F 2 M R 2 2

Cortando os “ R ”s dos dois lados da equação:

2 F 1 2 M = F 2 M 2

F 1 M = 2 F 2 M

Cortando “ M ”:

F 1 = 2 F 2

Queremos a força do cilindro menor F 2 em função da outra, então:

F 2 = F 1 2

Assim, a força F 2 no cilindro menor deve ser a metade da força F 1 no cilindro maior para que eles tenham a mesma aceleração angular.

Ficamos com a alternativa (B).

Resposta

Letra (B)

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