Exercícios Resolvidos de Torque

Dinâmica de Rotação

Uma corda de massa desprezível e inextensível está enrolada ao redor de um disco uniforme de raio R e de massa M e possui a outra extremidade fixada numa barra (conforme mostra a figura). O disco, liberado a partir do repouso, cai com a corda na posição vertical e mantém o seu eixo de rotação sempre na mesma direção. Dado: o momento de inercia de um disco de raio R e de massa M , segundo um eixo que passa pelo seu centro e perpendicular a sua superfície, é igual a 1 / 2 M R 2 .

  1. Determine a aceleração do centro de massa do disco.
  2. Qual é o módulo da tensão na corda?
  3. Qual é a velocidade do centro de massa após o disco ter descido uma altura h ?
  4. Qual é a razão K R / K T entre as energias cinéticas de rotação K R e de translação K T , na mesma situação do item c)?

Passo 1

a)

As únicas forças que atuam no disco são a tração e o peso. Considerando que o disco rola no senti anti-horário, vamos ter para a rotação

∑ τ = I α

Além disso a única força que gera torque é a tração já que ele roda pelo centro de massa.

∑ τ = T ⋅ R

O sentido do torque é anti-horário então temos a primeira equação

T R = I α

Lembrando que

a C M = α R

E, para um disco

I = M R 2 2

Finalmente resultando em

T R = M R 2 2 ⋅ a C M R

T = M a C M 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para a translação, considerando que a aceleração do centro de massa tem módulo a C M

T - P = - M a C M

Isso porque ele está caindo

M g - T = M a C M

No passo 1 achamos o valor da tração pela aceleração do centro de massa então

M g - M a C M 2 = M a C M

g = a C M 2 + a C M

a C M = 2 g 3

Passo 3

b)

agora que temos a aceleração do centro de massa a tração vai ser

T = M a C M 2

T = M 2 ⋅ 2 g 3

T = M g 3

Passo 4

c)

A energia mecânica se conserva já que não temos uma força dissipativas como o atrito.

E m 0 = U g = M g h

Isso porque vamos considerar a altura que ele chega como zero, sendo a altura que ele está como h .

E m f = K

Temos a energia cinética de rotação e a energia cinética de translação

K = K r o t + K t r a n s

K r o t = I ω 2 2

Lembrando que

v = ω R

Vamos ter

K r o t = M R 2 2 ⋅ v / R 2 2

K r o t = M v 2 4

O momento de inércia está ali em cima no passo 1

Passo 5

A energia cinética de translação vai ser

K t r a n s = M v 2 2

Tendo então

K = M v 2 4 + M v 2 2

K = 3 M v 2 4

Passo 6

Igualando as energias

M g h = 3 M v 2 4

v 2 = 4 g h 3

v = 4 g h 3

Passo 7

d)

Já encontramos cada uma dessas energias então

K r o t K t r a n s = M v 2 / 4 M v 2 / 2   = 1 4 1 2 = 1 2

Resposta

  1. a C M = 2 g 3
  2. T = M g 3
  3. v = 4 g h 3
  4. K r o t K t r a n s = 1 2

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