Exercícios Resolvidos de Torque

Um corpo formado por uma barra homogênea, de massa m b   =   3 k g e comprimento L   = 2 m , e por um disco, de massa m d   =   4 k g e raio R   =   1 m , pode girar em torno de um eixo que passa pelo ponto O (na junção da barra e do disco) e é perpendicular ao plano da página. O corpo é mantido em repouso na horizontal, como vemos na figura. Considere g   =   10   m / s 2 .

(a) Calcule o momento de inércia da barra em relação ao eixo que passa pelo ponto O . Dado: I C M d i s c o = m b L 2 / 12 .

(b) Calcule o momento de inércia do disco em relação ao eixo que passa pelo ponto O . Dado: I C M d i s c o = m d R 2 / 2 .

(c) Calcule o módulo do torque resultante que age sobre o corpo no momento em que o corpo é solto.

(d) Calcule o módulo da aceleração adquirida pelo ponto A (extremidade direita do disco) no momento em que o corpo é solto. Indique também a direção e sentido dessa aceleração.

Passo 1

(a) Pelo teorema dos eixos paralelos, temos:

I O b a r r a = I C M b a r r a + m b L 2 2 = m b L 2 12 + m b L 2 4 = m b L 2 3 = 4 k g . m 2

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Passo 2

(b) Pelo teorema dos eixos paralelos, temos:

I O d i s c o = I C M d i s c o + m d R 2 = m d R 2 2 + m d   R 2 = 3 m d R 2 2 = 6 k g . m 2

Passo 3

(c) O torque resultante é dado pela soma dos torques devido aos pesos da barra e do disco. O peso do disco tende a girar o corpo no sentido horário e o peso da barra tende a girar o corpo no sentido anti-horário. Sendo assim, considerando que torques tendendo a girar o corpo no sentido anti-horário são positivos, temos:

τ R = m b g   L 2 - m d g R = 3   .   10   . 2 2 - 4   .   10   .   1 = - 10 N . m

Portanto, o módulo de τ R é τ R = 10   N . m

Passo 4

(d) Como o torque resultante é negativo, o corpo irá girar no sentido horário, e portanto o ponto A acelera para baixo quando o corpo é solto. O módulo da aceleração pode ser encontrado pela segunda lei de Newton para rotações τ R   =   I α :

α   =   τ R / I   =   10 / ( I O b a r r a   +   I O d i s c o )   =   10 / ( 4   +   6 )   =   1   r a d / s 2 .

Como trata-se de uma rotação, a aceleração em um dado ponto pode ser obtida pela expressão a   =   α r , onde r é o raio do movimento. No caso do ponto A , esse raio é o diâmetro do disco, e portanto:

a   =   α 2 R   =   1   .   2   .   1   =   2   m / s 2

Resposta

(a) 4 k g . m 2

(b) 6   k g . m 2

(c) τ R = 10 N . m

(d) 2 m / s 2

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