Exercícios Resolvidos de Torque

Torque

Duas cordas, com uma de suas extremidades presa ao teto, estão enroladas ao redor de um cilindro sólido de massa M , raio R e comprimento L . O cilindro é solto a partir do repouso.

  1. Com que aceleração o centro de massa do cilindro cai?
  2. Determine a tração em cada um dos fios.
  3. Quando o cilindro cai de uma altura h , a partir do repouso, qual é a velocidade do seu centro de massa ?

Dado: O momento de inércia de um cilindro de massa M   e raio R em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa é I c m = M R 2 2 .

Passo 1

a):

Bom galera, pra calcular a aceleração linear a gente vai usar a segunda lei de newton:

M a = M g - 2 T

São dois T por que são dois fios. Beleza?

Mas qual o torque no cilindro? Bom, o peso não efetua torque já que age no eixo do cilindro, onde está o centro de massa, mas as duas tensões efetuam um torque não nulo:

Em módulo:

2 T . R = I α

Com:

I = M R 2 2

Então:

2 T . R = M R 2 2 α

Além disso, como não há deslizamento no rolamento:

a = α R

Então as três equações que regem o movimento do cilindro é:

M a = M g - 2 T

2 T . R = M R 2 2 α

a = α R

Beleza? Então é só manipular essas três equações pra acharmos a .

Isolando α na terceira equação e substituindo na segunda:

α = a R

Então:

2 T . R = M R 2 2 α

2 T = M R 2 α

T = M R α 4 = M R 4 . a R = M a 4

Beleza? Então vamos substituir esse valor na primeira equação:

M a = M g - 2 T

M a = M g - 2 . M a 4 → M a + M a 2 = M g

a + a 2 = g

3 a 2 = g → a = 2 g 3

Pronto.(:

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Passo 2

b):

Ai é só a gente usar a equação que a gente encontrou no item a):

T = M a 4 = M 4 . 2 g 3 = M g 6

T = M g 6

Passo 3

c):

Pra achar a velocidade que o corpo adquire após cair uma altura h , é só a gente usar a equação de torriceli, lembrando que a velocidade inicial é zero:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ S

v 0 = 0

a = 2 g 3

Então:

v 2 = 2 . 2 g 3 h = 4 g h 3

v 2 = 4 g h 3 → v = 4 g h 3

Resposta

a):

a = 2 g 3

b):

T = M g 6

c):

v = 4 g h 3

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