Exercícios Resolvidos de Torque

Uma haste homogênea de comprimento L e massa M está presa por uma das extremidades a uma parede pelo ponto O. A haste é mantida na horizontal por uma corda que se prende a uma distância igual a 5L/6 e faz um angulo θ = 36,8° com a haste. Sobre a haste existe ainda uma massa pontual m posicionada à distância x do centro de massa da haste. A força da parede sobre a haste está representada na figura como F p →

  1. Calcule a expressão literal para o momento de inércia I do sistema [haste + massa pontual] com relação a um eixo perpendicular à figura que atravessa o ponto O.
  2. Nos próximos itens, adote: M = 100 kg, m = 12,0 kg e L = 1,20 m.

  3. Sabendo que a tensão T na corda não pode exceder 1160 N, encontre o valor máximo de x para que a corda não se rompa.
  4. Na situação do item (b), encontre o módulo da força F p →   que a parede realiza na haste.
  5. Suponha que a massa m se encontra a um valor x = 0,25m e que a corda se rompeu. No instante que a corda se rompe, calcule a aceleração angular α do sistema.

Passo 1

O momento de inércia do sistema será a soma dos momentos de inércia de uma barra posicionada em sua extremidade (que pode ser encontrado na tabela) e de uma massa pontual que dista de (L/2 + x) do ponto O.

I B = 1 3 M L 2   e   I m = m L 2 + x 2

I t o t a l = I B + I m = 1 3 M L 2 + m L 2 + x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Podemos usar o ponto de referência O para calcular o torque resultante do sistema, que deve ser nulo porque o corpo tá em equilíbrio. A vantagem de escolher esse ponto é que o torque da força da parede é nulo com relação a O, sacou? Como estamos no limite do rompimento da corda, a tensão na corda T é a tensão máxima permitida T=1160 N. Tomando também os torques no sentido anti-horário como positivos temos que:

τ B = - L 2 M g   ;   τ m = - L 2 + x m g   ;   τ T = 5 L 6 T s e n θ

τ r e s u l t a n t e = τ B + τ m + τ T

Calculando cada torque com os dados que temos, ficamos com:

τ r e s u l t a n t e = - 600 - 72 - 120 x + 695 = 0

x = 0,3 m

Passo 3

Como temos essa força na diagonal, podemos decompor ela no eixo x e no eixo y, e a gente sabe que o somatório das forças em todas as direções deve ser nulo, então:

∑ F x = F p x - T c o s θ = 0   → F p x = 929 N

∑ F y = F p y + T s e n θ - m g - M g = 0 → F p y = 425 N

Agora é só calcular o módulo da força!

F p = F p x 2 + F p y 2 = 1021 N

Fechouuu! Próxima!

Passo 4

Agora nosso torque resultante será diferente de 0, e noxxo x=0,25m e teremos que:

τ r e s u l t a n t e = τ B + τ m + τ T = I α

τ B = - L 2 M g = - 600 N m

τ m = - L 2 + x m g = - 102 N m

E usando o resultado da letra a pra calcularmos o momento de Inércia, temos:

I = 1 3 M L 2 + m L 2 + x 2 = 56,7 k g m 2

Jogando na fórmula do equilíbrio dos torques, temos: τ B + τ m + τ T = I α

- 600 - 102 = 56,7 α

α = - 12,4 r a d / s 2

Showww! Acabmos! :D

Resposta

a) I t o t a l = I B + I m = 1 3 M L 2 + m L 2 + x 2

b) x = 0,3 m

c) F p = F p x 2 + F p y 2 = 1021 N

d) α = - 12,4 r a d / s 2

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