Um homem de massa m sobe uma escada de massa M que está no solo com coeficiente de atrito igual a μ e = 0,5 , e também está apoiada na parede sem atrito formando um ângulo θ com a parede. Qual deve ser o ângulo θ limite para que o homem possa subir até o centro de massa da escada sem que ela deslize?

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

A ideia aqui é equacionar tanto as forças para que o torque as resultantes sejam zero. Dá uma olhada no esquema que fiz sobre esse desenho:

P M da própria escada (de massa M ) e o peso P m → do homem (de massa m ), já que é no centro de massa que queremos a condição de equilíbrio, ok?

Na base da escada também estão agindo duas forças: a força normal N → (que é vertical para cima) por causa do contato da escada com o chão e a força de atrito f a t → que aponta no sentido oposto ao deslocamento (que não queremos) da escada.

Por fim, temos o topo da escada a força que vai apoiar a escada e nos dizer qual ângulo θ máximo para que não haja deslocamento da escada.

Para o eixo de rotação vou escolher o ponto de apoio da escada com o chão, representada pela bolinha em laranja no desenho.

O que queremos é equilíbrio, não é? Então precisamos que todas as somas componentes das forças e dos torques seja zero, então temos:

N - P M - P m = 0 ∴ N = P M + P m F - f a t = 0 ∴ F = f a t - τ P M + - τ P m + τ F = 0 ∴ τ F = τ P m + τ P M

Como a força normal e a força de atrito atuam no eixo de rotação, elas não produzem torque.

O braço de alavanca (distância perpendicular da linha de atuação da força até o eixo de rotação) dos torques das forças peso é L 2 s e n θ e o braço de alavanca da força F é L c o s θ .

Passo 2

Da equação para o torque temos:

+ P M L 2 s e n θ + P m L 2 s e n θ = F L c o s θ

Daí temos:

L s e n θ P M 2 + P m 2 = F L   c o s θ

E simplificando temos:

s e n θ c o s θ = 2 F P M + P m = t g θ

Tranquilo?

Passo 3

E agora da equação para a força de atrito temos que F = f a t , e a força normal é o produto do coeficiente de atrito pela força normal:

F = N μ e

E a força normal é igual a soma dos pesos do homem e da escada:

F = P M + P m μ e

E agora vou substituir essa expressão para a força F ali em cima na expressão para o ângulo θ :

t g θ = 2 F P M + P m = 2 P M + P m μ e P M + P m

Olha só que legal! Podemos simplificar P M + P m e ficamos com uma expressão bem simples para o ângulo, saca só:

t g θ = 2 μ e

Como μ e = 0,5 , então:

t g θ = 2 . 0,5 = 1

θ = a r c t g   1 = 45 °

Assim o ângulo máximo é 45 ° .

Beleza?

Espero ter te ajudado!

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

45 °

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