Exercícios Resolvidos de Torque

Dinâmica de Rotação

Um objeto é composto por uma haste de massa desprezível e comprimento 4 R ligada ao centro de três discos de massa M e raio R como ilustra a figura. Este objeto está no plano vertical pode girar livremente em torno do eixo z . No instante indicado na figura, a haste encontra-se inclinada de 30 o em relação ao eixo x . O objeto está em equilíbrio estático, devido à força F → que tem direção perpendicular à haste. Despreze atritos. A aceleração da gravidade é g .

a) Calcule o torque τ → F produzido pela força F → e o torque τ → g produzido pela força da gravidade em termos dos dados do enunciado acima.

b) Suponha agora que M = 1,0   k g , R = 0,10   m e g = 10   m / s 2 . Em t = 0   s a força F → desaparece e o torque resultante é dado por τ → = 5,2   N m - k → . Calcule o módulo da aceleração angular para este instante e também para quando o objeto passar pela posição vertical.

Passo 1

a)

O torque da força F → é dado por:

τ → F = r → × F →

F → está sendo aplicada na ponta da haste, a uma distância 4 R da origem. Portanto, sendo F o módulo da força F → , temos

τ → F = 4 R F

E pela regra da mão direita, o torque aponta na direção do vetor k → .

Ou seja,

τ → F = 4 R F   k →

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Passo 2

Agora vai complicar um pouco, mas também nada de mais.

Queremos o torque realizado pela força da gravidade, e essa age no centro de massa CM do objeto, que fica bem no meio da haste.

E essa haste tem massa desprezível, então a massa total do objeto, concentrada no CM, é a soma das massas dos 3 discos, ou seja 3 M .

Então o torque realizado pela força da gravidade é:

τ → g = r → × 3 M g →

Passo 3

Agora vamos ter que aplicar uma trigonometria pra achar esse r → ! Lembrando que ele é o vetor posição do ponto de aplicação da força em relação ao eixo de rotação. No caso, é o vetor posição do CM em relação à origem.

Já sabemos que o módulo de r → é 2 R :

Passo 4

Mas o r → não tá na direção dos eixos x e y , então vai ser melhor decompor ele em r → x e r → y , o que dá:

Passo 5

Temos

r → = r → x + r → y

Repare que o braço da alavanca é a componente r → x , a r → y é paralela à força da gravidade g → , então ela não contribui à realização de torque. Então poderíamos usar r → x como r → .

Enfim, se isso não te convenceu, ou se a gente só quiser verificar isso mesmo, podemos usar o r → todo mesmo:

r → = 2 R cos ⁡ 30 o i → - 2 R sen ⁡ 30 o j →

Passo 6

E antes a gente viu que

τ → g = r → × 3 M g →

Logo,

τ → g = 2 R cos ⁡ 30 o i → - 2 R sen ⁡ 30 o j → × 3 M g →

O produto vetorial é distributivo, e g → = g ( - j → ) , então isso dá:

τ → g = 2 R cos ⁡ 30 o i → × 3 M g ( - j → ) - 2 R sen ⁡ 30 o j → × 3 M g - j →

⇒ τ → g = 6 R M g cos ⁡ 30 o i → × - j → - 6 R M g sen ⁡ 30 o j → × - j →

Mas j → × - j → = 0 então podemos cortar essa parte da direita! Que nem a gente previu antes! :)

Passo 7

Enfim, isso deu:

τ → g = 6 R M g cos ⁡ 30 o i → × - j →

⇒ τ → g = 6 R M g cos ⁡ 30 o - k →

E cos ⁡ 30 o = 3 2 então:

τ → g = 6 R M g 3 2 - k → = 3 3 R M g - k →

Passo 8

b)

A fórmula que relaciona torque resultante e aceleração angular é:

τ → r e s = I α →   ⇔ τ r e s = I α

E ele disse que, no momento t = 0 , o torque resultante é:

τ r e s = 5,2   N m

então basta a gente calcular o momento de inércia do objeto pra poder achar a aceleração angular em t = 0 !

Passo 9

O objeto é composto por 3 discos de massa M e raio R e por uma haste, que por ter massa desprezível não contribui pro momento de inércia do objeto.

Então o momento de inércia do objeto é a soma dos momentos de inércia dos 3 discos! Separando eles em disco da esquerda, do meio e da direita, fica:

I o b j e t o = I e s q + I m e i o + I d i r

Isso em relação ao eixo de rotação, que é o eixo z .

E o momento de inércia de cada disco em relação ao eixo passando pelo seu CM é

I c m = M R 2 2

Então vamos achar o momento de inércia de cada disco! :D

Passo 10

No caso do disco mais à esquerda, o CM fica em cima do eixo de rotação, então seu momento de inércia em relação ao eixo é

I e s q = I c m = M R 2 2

Passo 11

Vamos pro disco do meio!

Vimos que o momento de inércia dele em relação ao eixo passando pelo seu CM é:

I c m = M R 2 2

Mas a gente quer o momento de inércia em relação ao eixo z , que está a uma distância d = 2 R do CM!

Então, aplicando o teorema dos eixos paralelos, temos:

I m e i o = I c m + M d 2

⇒ I m e i o = M R 2 2 + M 2 R 2 = M R 2 2 + 4 M R 2 = 9 M R 2 2

Passo 12

Show, agora só falta o disco da direita!

A lógica é a mesma que pro disco do meio, a diferença é que a distância d entre o eixo que passa pelo CM do disco e o eixo z agora é 4 R .

Ou seja,

I d i r = I c m + M d 2 = M R 2 2 + M 4 R 2

⇒ I d i r = M R 2 2 + 16 M R 2 = 33 M R 2 2

Passo 13

Ótimo! Então juntando tudo, obtemos:

I o b j e t o = I e s q + I m e i o + I d i r

⇒ I o b j e t o = M R 2 2 + 9 M R 2 2 + 33 M R 2 2 = 43 M R 2 2

Substituindo M = 1   k g e R = 0,1   m , fica:

I o b j e t o = 43 ⋅ 1 ⋅ 0,1 2 2 = 43 ⋅ 0,01 2 = 0,43 2 = 0,215   k g ⋅ m 2

Passo 14

E isso tudo era pra gente jogar o valor do momento de inércia na fórmula:

τ r e s = I o b j e t o α

Lembrando que ele deu τ r e s = 5,2   N ⋅ m , então:

5,2 = 0,215 ⋅ α

⇒ α = 5,2 0,215 ≈ 24,2   r a d / s 2

Passo 15

Show, mas essa aceleração angular que a gente achou é no momento t = 0 , que foi quando o torque resultante valia 5,2   N ⋅ m . E ele também pediu a aceleração angular quando o objeto passar pela posição vertical.

A única força atuando no objeto é a força da gravidade 3 M g → . Então o torque resultante é:

τ → r e s = r → × 3 M g →

E novamente temos

τ → r e s = I α →

Passo 16

Vamos dar uma olhada no que acontece quando o objeto está na vertical:

Os vetores r → e 3 M g → são paralelos, então o produto vetorial deles é nulo!

Portanto,

τ → r e s = r → × 3 M g → = 0

⇒ τ r e s = I α = 0

E como I ≠ 0 , a aceleração angular é nula:

α = 0   r a d / s 2

Resposta

a)

τ → F = 4 R F   k →

τ → g = 3 3 R M g - k →

b)

Em t = 0 :

α = 5,2 0,215 ≈ 24,2   r a d / s 2

Quando o objeto passa na posição vertical:

α = 0   r a d / s 2

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