Exercícios Resolvidos de Torque

O objeto ilustrado ao lado é composto por um cilindro de raio R , uma haste rígida e dois discos afastados do eixo de rotação. O objeto tem momento de inércia I . Ao longo do perímetro do cilindro está enrolada uma corda inextensível de massa desprezível. Outra parte desta corda está enrolada em uma roldana de raio R / 2 e momento de inércia I / 100 . Na extremidade da corda está uma pequeno cubo de massa M , distante A de um suporte. Não há deslizamento na corda. Inicialmente o sistema é mantido em repouso através de um freio. No instante t   =   0 o freio é retirado e o sistema inicia seu movimento. Utilize g para a aceleração da gravidade.

a) Em função das forças indicadas na ilustração, escreva os torques que agem na roldana τ → R e no objeto τ → O no instante t   =   0 .

Passo 1

Num primeiro momento, essa figura pode parecer meio complicada. Mas fica tranquilo que não é nada demais.

Quando o freio é retirado, o bloquinho começa a descer devido à ação da gravidade.

E consequentemente, ele puxa a corda que faz a roldana e aquele objeto estranho entrarem em rotação.

Sacou o que tá “rolando”?

Hahahh, okay, parei.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na letra (a), queremos os vetores do torque sobre a roldana τ → R e sobre o objeto τ → O .

Queremos os VETORES torque...

Ou seja, além do módulo também precisamos escrever a direção e sentido a partir do sistema de referências da questão.

O vetor torque τ → é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição r → (centro de rotação até ponto de aplicação da força) e o vetor força F → :

τ → = r → × F →

Lembrando também que podemos calcular o módulo desse produto vetorial com:

τ = r F s e n θ

Onde θ é o ângulo entre eles.

E se os vetores fizerem 90 ° entre si temos:

τ = r F s e n 90 ° = r F 1

τ = r F

Passo 3

Vamos começar com a roldana.

Os vetores T → 1 está na direção negativa do eixo y enquanto o T → 2 está na direção positiva do eixo x :

T → 1 = - T 1   j ^

T → 2 = - T 2   i ^

Já os vetores posição r → são:

Os módulos dos vetores (tamanho) serão seu raio R / 2 :

r → 1 = R 2   i ^

r → 2 = R 2   j ^

Passo 4

Agora, vamos calcular o torque na roldana.

OBS: Produto vetorial resulta num vetor ( τ → ) perpendicular aos dois vetores ( r → ) e ( T → ), no caso da roldana, estará na direção do eixo z .

Começando com o torque da primeira força:

τ → 1 = r → 1 × T → 1

τ → 1 = R 2   i ^ × - T 1   j ^

τ → 1 = - R T 1 2   i ^ × j ^

Pela regra da mão direita, temos:

τ → 1 = - R T 1 2   k ^

Já o torque da segunda força é:

τ → 2 = r → 2 × T → 2

τ → 2 = R 2   j ^ × - T 2   i ^

τ → 2 = - R T 2 2   j ^ × i ^

Pela regra da mão direita, temos:

τ → 2 = - R T 2 2   - k ^

τ → 2 = R T 2 2   k ^

Beleza, então o torque resultante na roldana será:

τ → R = τ → 1 + τ → 2

τ → R = - R T 1 2   k ^ + R T 2 2   k ^

τ → R = R 2 T 2 - T 1   k ^

Pronto, já achamos nossa resposta.

Mas só para melhorar um pouquinho mais... como a roldana gira no sentido horário, a força T 1 é maior que a força T 2 . Ou seja, aquele termo T 2 - T 1 resulta num valor negativo.

Ou seja, o torque resultante está na direção - k ^ .

Então, vamos reescrevê-lo de outra forma. Vai dar no mesmo, porém, agora passa uma ideia mais clara do sentido:

τ → R = - R 2 T 2 - T 1   - k ^

τ → R = R 2 T 1 - T 2   - k ^

Passo 5

Agora vamos fazer o mesmo procedimento para achar o torque no objeto τ → O .

O vetor da força de tração está na direção do eixo x :

T → 2 = T 2   i ^

Repara que o vetor posição r → está na direção do eixo z , pois parte do centro do cilndro até o ponto de aplicação de T → 2 .

Dá uma olhada no objeto por cima (vista superior), vemos isso aqui:

O vetor posição é esse aqui:

Lembrando que o raio do cilindro é R (diferente da roldana).

r → = R   k ^

Passo 6

O torque no objeto será:

τ → O = r → × T → 2

τ → O = R   k ^ × T 2   i ^

τ → O = R T 2   k ^ × i ^

Pela regra da mão direita, esse produto vetorial resulta na direção positiva do eixo y :

τ → O = R T 2   j ^

Resposta

(a)

τ → R = R 2 T 1 - T 2   - k ^

τ → O = R T 2   j ^

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