Exercícios Resolvidos de Torque

UFPE, Física 1, 2019.1, 3º EE, Questão 2

Uma partícula massiva encontra-se grudada em uma das extremidades de uma barra sem massa (ver Figura 1 abaixo). A outra extremidade da barra está conectada na origem O do plano horizontal x y . A partícula e a barra giram no plano x y , de modo que a partícula descreve uma circunferência com centro no ponto O . A posição angular da partícula (em rad) é dada por:

θ t = π 3 + 2 t 4 ,

onde o tempo t é dado em segundos. O momento de inércia da partícula em relação ao eixo perpendicular ao plano x y e que passa no ponto O é I   =   4,0   k g ⋅ m 2 .

O módulo do torque resultante sobre a partícula em relação ao ponto O no instante t = 2,0   s vale:

(a) 0   N . m

(b) 16   N . m

(c) 64   N . m

(d) 128   N . m

(e) 256   N . m

(f) 292   N . m

(g) 384   N . m

(h) 416   N . m

(i) 464   N . m

Passo 1

Faaala galera, tudo beleza? Temos aqui um problema de rotação de corpos rígidos! Nele precisaremos saber um pouco sobre a aceleração angular instantânea ( α ), momento de inércia ( I ) e Torque ( τ ).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Dizemos que um corpo massivo possui aceleração angular quando a sua velocidade angular varia. Considerando que sabemos o conceito de velocidade angular instantânea ( ω ), a aceleração angular instantânea de um corpo massivo com velocidade angular variável pode ser calculada da seguinte forma:

α = lim ∆ t → 0 ⁡ ∆ ω ∆ t =   d ω d t

Do mesmo modo, como ω = d θ / d t , podemos expressar a aceleração angular como a derivada de segunda ordem da coordenada angular ( θ ):

α = d d t ⋅ d θ d t =   d 2 θ d t 2

Passo 3

Neste conteúdo, considerando um corpo rígido, o momento de inércia pode ser definido, de modo simples, como sendo a massa da partícula multiplicada pela distância ao eixo de rotação (raio):

I = m r 2

Passo 4

Podemos descrever, para este caso, o torque de uma força F → aplicada em relação a um ponto O com, a uma determinada distância l , como:

τ = F → ⋅ l

Sabemos que a força é F = m ⋅ a . Podemos considerar a = r α e l = r . Logo, o torque angular resultante ( τ r e s ) para uma partícula massiva ou corpo rígido, pode ser calculado da seguinte forma:

τ r e s = m ⋅ α ⋅ r 2

Como I = m r 2 , temos:

τ r e s = I ⋅ α

Passo 5

Agora que sabemos mais alguns conceitos, poderemos calcular o torque angular resultante ( τ r e s ) da partícula no instante t = 2,0   s .

Primeiro, calculamos a aceleração angular:

α = d 2 θ d t 2 = d 2 π 3 d t 2 + d 2 2 t 4 d t 2 = 0 + 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ t 2 = 24 t 2

Sendo t = 2,0   s temos,

α = 24 ⋅ 2 2

α = 96   r a d / s 2

portanto o torque angular resultante é:

τ r e s = I ⋅ α

τ r e s = 4 ⋅ 96

τ r e s = 384   N ⋅ m

Resposta

Letra (g)

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