Questão 1) Dois blocos pequenos de massas iguais, m 1 = m 2 = m , estão fixos em uma gangorra sem atrito, de massa desprezível e de comprimento L , distantes de r 1 = L / 2 e r 2 = L / 6 do eixo de rotação. Inicialmente a gangorra encontra-se na horizontal, em repouso. Calcule o módulo da aceleração tangencial do bloco 1 imediatamente após a gangorra ser liberada. Forneça sua resposta apenas em termos da aceleração da gravidade g.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, temos uma gangorra, travada, de tamanho L que na extremidade da esquerda há um bloco de massa m que vamos chamar de Bloco 1 .

No lado direito da gangorra temos um outro bloco de massa m que está a uma distância L / 6 do centro da gangorra, vamos chamar esse bloco de Bloco 2 .

Nessa situação, assim que destravarmos a gangorra queremos descobrir qual é a aceleração tangencial do Bloco 1 !

Tem alguma ideia do que fazer?? 🤔🤔

Que tal usarmos a ideia do torque resultante para obter a força de rotação da gangorra?

Assim podemos fazer algumas analogias entre o torque e a aceleração angular e depois com a aceleração tangencial.

Entendeu?

Bora ver na prática! 😉

Passo 2

Para obter o torque resultante podemos calcular a contribuição do torque de cada bloco para a gangorra.

Lembra como calculamos o torque de alguma coisa?

Uma das maneiras é calcular o produto entre a força, o seno do ângulo entre o vetor força e o eixo do raio de rotação e a distância da aplicação da força até o eixo de rotação, como por exemplo em

No nosso caso o ângulo entre o vetor força e raio de rotação é 90 ° , ou seja, s e n 90 ° = 1 .

Logo o módulo do torque no nosso caso é dado por

τ = r · F

Para o Bloco 1 , qual é o raio r e a força F ?

O raio r é a distância da força até o eixo de rotação, ou seja, analisando a imagem e a descrição do enunciado r = L / 2 .

Já a força F é a força peso do bloco, concorda? Se a força peso é dada por P = m g , então F = m g .

Portanto

τ 1 = L 2 · m g = m g L 2

Entendeu essa parte? 😁

Fazendo a mesma análise para o Bloco 2 , vemos que a distância r até o eixo de rotação é L / 6 e da mesma forma do Bloco 1 a força que o Bloco 2 exerce sobre a gangorra é a força peso do bloco, ou seja, F = m g .

Dessa forma o torque produzido pelo Bloco 2 é.

τ 2 = L 6 · m g = m g L 6

Considerando o sentido anti-horário como positivo e horário como negativo, o torque resultante é dado por

τ = τ 1 - τ 2

Fazendo as substituições

τ = m g L 2 - m g L 6 = m g L 1 2 - 1 6

τ = m g L 1 3

  τ = m g L 3

Encontramos o torque resultante, e agora? 🤔

Passo 3

Temos uma outra maneira de calcular o torque, não é? Mas relaxa, não queremos confirmar o resultado que obtivemos no passo anterior. Nós podemos usar essa outra forma pra fazer uma relação muito interessante.

Ta lembrado que o torque também pode ser calculado como o momento de inércia multiplicado pela aceleração angular?

τ = I α

Mas o que é I ?

O momento de inércia de um objeto pontual é dado por I = m r 2 , não é?

E a aceleração angular α ?

Podemos escrever a aceleração angular como a razão entre a aceleração tangencial com o raio de rotação, ou seja, α = a / r

Calculando o momento de inércia do sistema, vamos obter

I = I 1 + I 2

Concorda?

Interessante, né? 😉

Passo 4

Para o Bloco 1 o momento de inércia é calculada sabendo que r = L / 2

I 1 = m L 2 2 = m L 2 4

Agora para o Bloco 2 o momento de inércia é obtido sabendo que r = L / 6

I 2 = m L 6 2 = m L 2 36

Dessa forma, o momento resultante será

I = m L 2 4 + m L 2 36 = m L 2 1 4 + 1 36

I = m L 2 5 18

I = 5 m L 2 18

Fazendo as devidas substituições de I e de α em τ

τ = I α

τ = 5 m L 2 18 · a r

Como estamos analisando o Bloco 1 , o r que falta é a distância do bloco até o eixo de rotação ( L / 2 ) .

τ = 5 m L 2 18 · a L / 2 = 5 m L 2 18 · 2 a L

Simplificando a equação

τ = 10 m L a 18

Agora temos duas equações que descrevem a mesma coisa!

Está acompanhando? 👀

Passo 5

Está percebendo a maldade? Vamos igualar as equações do torque resultante que obtemos. τ = 10 m L a 18 e τ = m g L 3

10 m L a 18 = m g L 3

Podemos simplificar a igualdade cortando m L dos dois lados, veja só

10 a 18 = g 3

Isolando a em um lado da igualdade, vamos obter

10 a = 18 g 3

a = 18 g 30

Simplificando...

a = 3 g 5

Logo, vemos que a aceleração tangencial é dada por 3 / 5 da aceleração gravitacional!

Muito legal, não é? 😁

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a = 3 g 5

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