Dada a figura abaixo ache o volume do sólido gerado rotacionando a região indicada em torno da reta especificada:

  1. R 3 ao longo de OC

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??? Bora Responder Aí essa questão

Vemos que a região de R 3 é superiormente pela curva y = x e inferiormente pela curva y = x 3

Ao longo de OA é o eixo x, certo?! É sobre ele que vamos fazer a integração.

Mas por ser no eixo y, temos que fazer:

y = x → x = y 2

y = 3 → x = y 3

Bora pro próximo passo?

Bora pro próximo passo?

Passo 2

Obrigado por vir.

Sabemos que o volume gerado por uma rotação é dada por:

V = ∫ a b π g ( y ) 2 d x

E

g y 2 = π y 2 2 - π y 3 2 = π y 4 - y 2 3

Passo 3

E sobre OC, y compreende de 0 até 1. Logo:

V = ∫ 0 1 π   y 4 - y 2 3 d y  

V = π y 5 5 - 3 5 y 5 3 0 1

V = - 2 5 π = 2 5 π

Resposta igual se fizesse:

V = ∫ 0 1 y 2 3 - y 4 d y

Resposta

V = 2 5 π

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Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y = x e pelas retas y = 2 e x = 0 em torno Do eixo x .Do eixo y .Da reta y = 2 .Da reta x = 4 .
Volume de um toro. O disco x 2 + y 2 ≤ a 2 gira em torno da reta x = b ( ba ) para gerar um sólido em forma de rosquinha chamado toro. Determine seu volume. (Sugestão: ∫ - a a a 2 - y 2 d y = π a 2 /
42: A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante por qualquer método. x = y - 3 2 ,x = 4 ; em torno de y = 1 .
Por integração, determine o volume do sólido obtido pela rotação da região triangular com os vértices ( 0,0 ) , b , 0 e ( 0 , h ) em torno Do eixo x .Do eixo y .