Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

UM circuito elétrico composto por um resistor (de resistência R ), um indutor (de indutância L ) e uma bateria (com diferença de potencial V entre os seus terminais) está ilustrado abaixo.

A chave S est inicialmente aberta e, consequentemente, não há corrente elétrica passando pelo circuito. No instante t = 0 , essa chave é ligada e a corrente I t que atravessa o circuito é solução da seguinte equação diferencial:

L d I t d t + R   I t = V

Onde L ,   R   e   V são constantes positivas. A expressão que define a corrente I t , para um instante t > 0 qualquer, é:

  1. I t = R L t
  2. I t = V L
  3. I t = V R log ⁡ L R t
  4. I t = V R 1 - e - R L t
  5. I t = V R 1 - cos ⁡ R t L

Passo 1

A primeira coisa que temos que observar é que ele deu uma condição inicial ali no texto.

I 0 = 0

Repara que ele diz que a chave estava fechada, assim que ela for aberta, ou seja, em t = 0 não terá corrente.

Vamos resolver a nossa EDO

L d I t d t + R   I t = V

Repara que ela é uma EDO de 1ª ordem linear. Então vamos usar o fator integrante para achar a sua solução, primeiro vamos deixar I ' isolado, para isso vamos dividir a equação toda por L

I ' t + R L I t = V L

Agora precisamos achar o fator integrante, normalmente o chamamos de I t , mas essa é a nossa função, então vamos chamar de I * t , só para não nos confundir

I * t = e ∫ R L d t = e R t L

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos multiplicar o nosso fator integrante pela EDO

e R t L I ' t + R L e R t L I t = V L e R t L

A parte da esquerda da equação vai ser

e R t L . I t ' = V L e R t L

Passo 3

Integrando dos dois lados, vamos ter

e R t L . I t = ∫ V L e R t L d t

e R t L . I t = V L L R e R t L + C

e R t L . I t = V R e R t L + C

Agora, basta isolarmos o I t , a nossa solução vai ser

I t = V R + C e - R t L

Passo 4

Vamos agora usar a nossa condição inicial

I 0 = 0

I 0 = V R + C e - R . 0 L = V R + C e 0

I 0 = V R + C = 0

C = - V R

A nossa solução vai ser

I t = V R - V R e - R t L

Podemos colocar V R em evidência

I t = V R 1 - e - R t L

Resposta

Letra d

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