2) Uma colônia de bactérias obedece a “lei natural da evolução” (Lei de Malthus), isto é, a taxa de crescimento populacional é proporcional à população. Observou-se que há 1   h o r a atrás havia 400 bactérias, e que agora há cerca de 1000 .

a) Apresente a equação que fornece a quantidade de bactérias na hora t .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, estamos interessados em obter uma EDO capaz de descrever o crescimento populacional de uma colônia de bactérias.

Tem ideia do que podemos fazer 👀

Em um momento, haviam 400 bactérias e 1 h depois haviam 1000 .

Foi dito que o crescimento é proporcional à população no instante atual.

Ou seja, no instante t = 0 , temos 400 bactérias e em t = 1 temos 1000 , portanto, as situações de contorno são

P 0 = 400 P 1 = 1000

Então temos que encontrar uma equação que satisfaça essas condições.

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 2

A equação que modela o crescimento exponencial de uma população de bactérias seguindo a Lei de Malthus é dada por:

P t = P 0 e r t

Onde P 0 é a população inicial de bactérias, r é a taxa de crescimento da população e t é o tempo decorrido desde o início da observação em horas

Para determinar a equação que fornece a quantidade de bactérias na hora t , precisamos primeiro calcular a taxa de crescimento r . Sabemos que a taxa de crescimento é proporcional à população, o que significa que podemos determinar r a partir das informações dadas. Sabemos que em uma hora a população aumentou de 400 para cerca de 1000 bactérias, o que representa um crescimento de C = 150 % . Podemos usar essa informação para calcular k da seguinte forma:

1 + C 100 = e r t

1 + 1,5 = e r t

2,5 = e r t

Colocando os dois lados em l n , temos

ln ⁡ 2,5 = ln ⁡ e r t

ln ⁡ 2,5 = r t

r = l n 2,5 t

Assim, como essa variação ocorreu em um intervalo de tempo de 1 h , então t = 1

r = l n 2,5 1 = 0,9163

Substituindo r e P 0 na equação de crescimento exponencial, obtemos:

P ( t ) = 400 e 0,9163 t

Portanto, a equação que fornece a quantidade de bactérias na hora t é P ( t ) = 400 e 0,9163 t , onde t é o tempo decorrido em horas desde o início da observação.

Se fizermos t = 0

P 0 = 400 e 0 = 400

Se fizermos t = 1

P 1 = 400 e 0,9163 = 1000

Então as condições se contorno são satisfeitas.

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

P ( t ) = 400 e 0,9163 t

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Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0