2) Uma colônia de bactérias obedece a “lei natural da evolução” (Lei de Malthus), isto é, a taxa de crescimento populacional é proporcional à população. Observou-se que há 1   h o r a atrás havia 400 bactérias, e que agora há cerca de 1000 .

c) Daqui a quanto tempo a população atingirá 30.000 bactérias?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nosso objetivo nesse problema é obter o instante de tempo t em que o número de bactérias em uma colônia seja de 30000 .

Tranquilo? 👀

No item anterior, vemos que a equação que modela o crescimento exponencial de uma população de bactérias seguindo a Lei de Malthus é dada por:

P t = P 0 e r t

Onde P 0 é a população inicial de bactérias, r é a taxa de crescimento da população e t é o tempo decorrido desde o início da observação em horas

Conseguimos determinar que r = 0,9163 à partir da taxa de crescimento inicial de 150 % na primeira hora.

Tudo certo? 😉

Passo 2

No final de tudo, chegamos em uma conclusão de que a função P t é dada por

P t = 400 e 0,9163 t

Vamos chamar de t 1 o instante que o número de bactérias seja igual a 30000 , ou seja, P t 1 = 30000

Substituindo essas informações na equação

P t 1 = 400 e 0,9163 t 1 = 30000

Isolando e 0,9163 t 1 em um lado...

e 0,9163 t 1 = 30000 400

e 0,9163 t 1 = 75

Se fizermos l n dos dois lados, podemos simplificar e no lado esquerdo

ln ⁡ e 0,9163 t 1 = ln ⁡ 75

0,9163 t 1 = ln ⁡ 75

Isolando t 1

t 1 = ln ⁡ 75 0,9163

t 1 = 4,71

Passando esse instante para horas, temos que se t = 1 diz respeito a 1 h , então 0,71 será

1 0,71 = 60 x → x = 42 m i n

Ou seja, no instante 4 h 42 m , a população de bactérias é 300 0 0 .

Esse tempo é 3 h 42 m após o instante que estamos usando como referência (em t = 1 )

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

3 h 42 m

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Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0